Question

Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuaci ́on 6x − my + 2z = 1 y la recta r dada por

x − 1/−3 = y + 1/2 = z + 2/−1


b) [1’5 puntos] ¿Existe alg ́un valor de m para el que la recta r est ́e contenida en el plano π?.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

b) ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π?

 

Se transforma la recta a su forma implícita.

 

2x – 2 = -3y – 3; -x + 1 = -3z – 6

 

2x + 3y = -1

 

-x + 3z = -7

 

Se adiciona la ecuación del plano y se crea un sistema de ecuaciones.

 

2x + 3y = -1

 

-x + 3z = -7

 

6x – my + 2z = 1

 

La recta estará contenida en el plano si el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz expandida tienen un rango de 2.

 

Para la matriz de coeficientes:

 

                  | 1   3   0|

Det (A) =  |-1   0   3| = 0 => 60 + 3m = 0 => m = -20

                  | 6  -m  2|

 

Si m = - 20 el rango de la matriz es de 2.

 

Se sustituye el valor de m y se calcula el rango en la matriz expandida.

 

        ( 1   3   0  -1)

M = (-1   0   3  -7)

        (6   20  2   1)

 

Se realizan las siguientes operaciones:

 

F2 = F2 + F1

F3 = F3 – 6F1

F3 = F3 – 2F2/3

 

Con esto la matriz queda:

 

(1   3   0    -1   )

(0   3   3    -8   )

(0   0   0  37/3)

 

Con esto el rango de la matriz expandida es igual a 3.

 

Por lo tanto no existe ningún valor de m que permita a la recta r estar contenida en el plano.

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.