Question

Ejercicio 2.- Sea f la funci ́on definida por f(x) = x2 + 1x
2(x − 1) para x 6= 0 y x 6= 1 y sea F la primitiva de f
cuya gr ́afica pasa por el punto P(2, ln (2)) ( ln denota logaritmo neperiano).

a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gr ́afica de F en el punto P.

b) [2 puntos] Determina la funci ́on F.


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

Una función primitiva de la función f(x) es F(x), esto quiere decir que la integral de f(x) es igual a F(x), de esto, podemos deducir que entonces que la derivada de F(x) es igual a f(x), esto es:

F’(x) = f(x)

a)    La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (b, f(b)) y cuya pendiente es igual a f '(x), asi, pordemos decir que la formula de la recta tangente es: y – f(b) = f’(b).(x-b).

Llevado a nuestro problema sería: y – F(2)  = F’(2).(x-2)

Por lo tanto, F(2) = ln2  y F’(2) = f(2) = 5/4

Sustituyendo en la fórmula de la recta tangente, obtenemos que la recta es: y – ln2 = 5/4 . (x-2).

b) Para resolver la integral utilizamos el método de fracciones parciales siendo las raíces del denominador x=0; x=0; x=1

Asi, $(x^2+1)/(x^2.(x-1))= A/x+ B/x^2 + C/(x-1)=$ 

$= (A.x.(x-1)+B(x-1)+C.x^2)/(x^2.(x-1))$

Se puede notar que los denominadores son iguales, por lo tanto los numeradores deben ser iguales también. Tomamos 3 valores para x y de esta forma calculamos A, B y C.

x = 0 Þ 1= -B  Þ B = -1

x = 1 Þ 2 = C Þ C = 2

x = 2 Þ 5 = 2A + B + 4C  Þ A = -1

 

sustituyendo, obtenemos: 

$F(x)= \int\limits { (x^2+1)/(x^2.(x-1) )} \, dx=$ $F(x)= \int\limits {(-1)/x} \, dx + \int\limits {(-1)/x^2 } \, dx +\int\limits {2/(x-1)} \, dx =$ $-lnx+1/x+2ln(x-1)+C$

Sabemos que F(x) pasa por el punto (2,ln2), por lo tanto:

ln2 = -ln2 + 1/2 + 2ln1 + C   Þ  C = 2ln2 -1/2

 

así, F(x) = -lnx + 1/x + 2ln(x-1) + 2ln2 – 1/2