Question

Ejercicio 2.- Sea f la funci ́on definida por f(x) = x2 + 1x
2(x − 1) para x 6= 0 y x 6= 1 y sea F la primitiva de f
cuya gr ́afica pasa por el punto P(2, ln (2)) ( ln denota logaritmo neperiano).


b) [2 puntos] Determina la funci ́on F.


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

 

Una función primitiva de la función f(x) es F(x), esto quiere decir que la integral de f(x) es igual a F(x), de esto, podemos deducir que entonces que la derivada de F(x) es igual a f(x), esto es:

F’(x) = f(x)

b) $\int\limits {(x^2+1)/(x^2.(x-1))} \, dx$

Para resolver la integral utilizamos el método de fracciones parciales siendo las raíces del denominador x=0; x=0; x=1.

Así, $\frac{x^2+1}{x^2.(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1} = \frac{A.x.(x-1)+B(x-1)+C.x^2}{x^2.(x-1)}$

Se puede notar que los denominadores son iguales, por lo tanto los numeradores deben ser iguales también. Tomamos 3 valores para x y de esta forma calculamos A, B y C.

x = 0 ⇒ 1= -B  ⇒ B = -1

x = 1 ⇒ 2 = C ⇒ C = 2

x = 2 ⇒ 5 = 2A + B + 4C  ⇒ A = -1

sustituyendo, obtenemos:

$\int\limits { \frac{x^2+1}{x^2.(x-1)} } \, dx = \int\limits { \frac{-1}{x} } \, dx + \int\limits { \frac{-1}{x^2} } \, dx + \int\limits { \frac{2}{x-1} } \, dx$

$= -lnx+ \frac{1}{x}+2ln(x-1)+C$

Sabemos que F(x) pasa por el punto (2,ln2), por lo tanto:

$ln2 = -ln2 + 1/2 + 2ln1 + C$   ⇒  $C = 2ln2 -1/2$

así, $F(x) = -lnx + 1/x + 2ln(x-1) + 2ln2 - 1/2$