Ejercicio 4.- Sea r la recta que pasa por los puntos A(1, 1, 0) y B(3, −1, 1) y s la recta dada por
x + 2y = −1
y + z = −1
a) [1’25 puntos] Halla la ecuaci ́on general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a
las rectas dadas.
b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones param ́etricas del plano que pasa por B y es perpendicular a s.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva A 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.
Se determinan los directores y puntos de las rectas r y s.
Para r:
Vdr = AB = B – A = (3, -1, 1) – (1, 1, 0) = (2, -2, 1)
Ar (1, 1, 0)
Para s:
Si y = λ:
x = -1 -2λ
y = λ
z = -1 – λ
Vds = (-2, 1, -1)
Para determinar el plano paralelo a r y s, que además contenga al origen de coordenadas hay que aplicar un determinante.
|x-0 2 -2|
|y-0 -2 1| = x – 2z
|z-0 1 -1|
La ecuación del plano es:
π : x – 2z = 0
b) Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por B y es perpendicular a s.
El plano debe ser perpendicular a S, por lo tanto:
N = Vds = (-2, 1, -1)
Por lo tanto el plano tendrá la siguiente forma:
-2x + y – z + D = 0
El plano debe pasar por B, eso quiere decir que se sustituye B en la ecuación del plano para encontrar D.
B (3, -1, 1)
-2(3) + (-1) – (1) + D = 0
D = 8
Sustituyendo el valor de D, la ecuación del plano es:
π : -2x + y – z + 8 = 0
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA A 2015-2016 MATEMÁTICAS II.