Question

Ejercicio 4.- Considera el punto P(1, 0, 5) y la recta r dada por (
y + 2z = 0
x = 1
a) [1 punto] Determina la ecuaci´on del plano que pasa por P y es perpendicular a r.
b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de P a la recta r y el punto sim´etrico de P respecto a r


Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

a)      Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a r.

 

De la ecuación de la recta se debe extraer el vector director, el cual cumple con la condición de normal del plano según las exigencias del ejercicio.

 

Si z = λ, entonces las variables quedan {x = 1; y = -2λ; z = λ}. Por lo tanto los coeficientes de λ son las componentes del vector director de la recta r.

 

Vr = (0, -2, 1)

 

A (1, 0, 0)

 

La ecuación general del plano quedaría:

 

π: 0*X – 2*Y + Z + C = 0

 

Se sustituyen las coordenadas del punto P para encontrar la constante C del plano.

 

(-2*0) + 5 + C = 0

 

C = -5

 

Finalmente el plano es:

 

π: -2Y + Z – 5 = 0

 

b)      Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r.

 

Se determina la distancia desde la recta al punto usando la siguiente ecuación:

 

D = |PA x Vr| / |Vr|

 

Se parte calculando |Vr|.

 

|Vr| = √0^2 + (-2)^2 + 1^2 = √5

 

Ahora se calcula el vector desde el punto A perteneciente a la recta, hasta el punto P.

 

PA = (1, 0, 5) – (1, 0, 0) = (0, 0, 5)

 

Aplicando la ecuación se tiene que:

 

D = |(0, 0, 5) x (0, -2, 1)1 / √5

 

D = |(10, 0, 0)| / √5

 

D = √10^2 + 0^2 + 0^2 / √5

 

D = 10/√5 = 2√5 u

 

Ahora se determina el punto medio entre P y su simétrico P’.

 

Se interceptan la recta y el plano para encontrar el punto medio entre P y P’ que será conocido como M. El sistema de ecuaciones es:

 

-2Y + Z – 5 = 0

 

Y + 2Z = 0

 

X = 1

 

Si se despeja Y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera se obtiene que:

 

-2(-2Z) + Z – 5 = 0

 

Z = 1

 

Y = -2

 

El punto M es:

 

M (1, -2, 1)

 

Ahora es posible obtener el valor de P’:

 

Xm = Px + P’x / 2

 

1 = 1 + P’x / 2

 

P’x = 1

 

Ym = Py + P’y / 2

 

-2 = 0 + P’y / 2

 

P’y = -4

 

Zm = Pz + P’z / 2

 

1 = 5 + P’z / 2

 

P’z = -3

 

El punto simétrico a P es:

 

P’ (1, -4, -3)

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.