Problema A.2.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La ecuación del plano π que pasa por el punto P )1,0,2( y es perpendicular a la recta = + = 0 2 0 : z x y r . (3 puntos)
b) Las coordenadas del punto Q situado en la intersección de la recta r y del plano π . (2 puntos)
c) La distancia del punto P a la recta r, (3 puntos), y justificar razonadamente que la distancia del punto P a un punto cualquiera de la recta r es mayor o igual que 3 raíz de 6 /5.
PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II
Respuestas
a) La ecuación del plano π que pasa por el punto P (2, 0, 1) y es perpendicular a la recta r = {x + 2y = 0; z = 0}.
Se transforma la recta en su forma paramétrica con Y = λ.
X = -2λ
Y = λ
Z = 0
El vector director es:
Vdr = (-2, 1, 0)
El punto de la recta es:
A (0, 0, 0)
El vector director de la recta es el vector normal al plano buscado.
π: -2X + Y + 0*Z + D = 0
Si se sustituye el valor del punto P en la ecuación del plano se tiene que:
-2(2) + 0 + D = 0
D = 4
Finalmente la ecuación del plano buscado es:
π: -2X + Y + 4 = 0
b) Las coordenadas del punto Q situado en la intersección de la recta r y el plano π.
Para intersectar la resta y el plano hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
-2X + Y + 4 = 0
X + 2Y = 0
Z = 0
De la segunda ecuación se despeja X y se sustituye en la primera.
X = -2Y
-2(-2Y) + Y + 4 = 0
Y = -4/5
X = 8/5
El punto Q tiene las siguientes coordenadas:
Q (8/5, -4/5, 0)
c) La distancia del punto Q a la recta r, y justifique adecuadamente que la distancia del punto P a un punto cualquiera de la recta r es mayor o igual a 3√5 / 5.
La ecuación que hay que aplicar para determinar la distancia entre P y e es:
D = |AP x Vdr| / |Vdr|
|Vdr| = √(-2)^2 + (1)^2 + (0)^2 = √5
AP = P – A = (2, 0, 1) – (0, 0, 0) = (2, 0, 1)
AP x Vdr = (2, 0, 1) x (-2, 1, 0) = (-1, -2, 2)
|AP x Vdr| = √(-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 3
Sustituyendo estos valores se tiene que la distancia entre la recta y el punto es:
D = 3/√5 = 3√5/5
El punto Q encontrado en la sección pasada es el punto más cercano que hay desde la recta r hasta el punto P, ya que la formación de su vector es perpendicular al vector director de la recta. Si se obtiene la distancia del vector PQ debería ser la menor distancia entre P y r.
PQ = P – Q = (2, 0, 1) – (8/5, -4/5, 0) = (2/5, 4/5, 1)
|PQ| = √(2/5)^2 + (4/5)^2 + (1)^2 = 3√5/5
Por el contrario si se toma cualquier otro punto de la recta, como por ejemplo A, se debe obtener una distancia mayor a 3√5/5.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.