Question

Dos cámaras situadas en el suelo y en lados distintos, graban el vuelo de un avión. Las cámaras están a una distancia de 2.5 Km . Si los ángulos de elevación de dichas cámaras son de 75º y 35 º con el suelo, ¿a que altura se encuentra el avión?
NESECITO LA EXPLICACION

Answer 1

El avión se encuentra a 1.474 kilómetros de altura

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre las dos cámaras que se hallan en lados distintos. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas líneas de visión y también las distancias desde cada una de las cámaras hasta donde se encuentra el avión

Donde se pide hallar a que altura se encuentra el avión

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos distancias desde cada una de las cámaras hasta donde se encuentra el avión -ubicado en el vértice C-, dado que conocemos la longitud de separación entre las dos cámaras y los ángulos que estas  forman en cada extremo donde se encuentran ambas ubicadas con respecto al suelo o plano horizontal

Teniendo para la cámara ubicada a la izquierda un ángulo de elevación de 75°, y para la cámara que se ubica a la derecha un ángulo de elevación de 35°, donde denotamos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura a la que se encuentra el avión -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo acutángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 75° y de 35° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando el teorema del seno cualquiera de las dos distancias desde cada una de las cámaras hasta donde se encuentra el avión -en el vértice C -  habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Si el seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Por lo tanto basta con hallar la distancia desde una de las cámaras -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde se encuentra el avión para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado  

Donde antes debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo acutángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 75^o+ 35^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 75^o- 35^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 70^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 70°

Alternativa 1

Hallamos la distancia desde la cámara en A hasta el avión -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(35 ^o ) } = \frac{ 2.5 \ km }{sen(70^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 2.5 \ km \ . \ sen(35 ^o ) }{sen(70^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 2.5\ km \ . \ 0.573576436351}{0.939692620786 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 1.4339410908775 }{ 0.939692620786 }\ km }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 1.526 \ km }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del avión

$\boxed { \bold { sen(75^o )= \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(75^o )= \frac{altura \ avion }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ avion= distancia \ b \ . \ sen(75^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ avion= 1.526 \ km \ . \ sen(75^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ avion = 1.526\ km \ . \ 0.965925826289 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ avion= 1.474 \ km }}$

Alternativa 2

Hallamos la distancia desde la cámara en B hasta el avión -lado BC (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(75 ^o ) } = \frac{ 2.5 \ km }{sen(70^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 2.5 \ km \ . \ sen(75 ^o ) }{sen(70^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 2.5\ km \ . \ 0.965925826289}{0.939692620786 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 2.4148145657225 }{ 0.939692620786 }\ km }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 2.57\ km }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura del avión

$\boxed { \bold { sen(35^o )= \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(35^o )= \frac{altura \ avion }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ avion= distancia \ a \ . \ sen(35^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ avion= 2.57 \ km \ . \ sen(35^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ avion = 2.57\ km \ . \ 0.573576436351 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ avion= 1.474 \ km }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del avión