Question

Un cañón lanza un proyectil a una velocidad inicial de 120 m/s, con ángulo de 42°, Calcular: a) Altura, b) Alcance, c) Tiempo que permanece en el aire.​

Answer 1

a) La altura máxima alcanzada por el proyectil es de 328.95 metros

b) El alcance máximo del proyectil es de 1461.34 metros

c) El tiempo de vuelo del proyectil es de 16.39 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

a) Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(120 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (42^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{14400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.6691306063588)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{14400 \ . \ 0.4477357683661 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{6447.3950644728 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 328.94872\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 328.95\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 328.95 metros

b) Cálculo del alcance

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 120 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 42^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 14400 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (84^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 14400 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9945218953682 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 14400 \ . \ 0.9945218953682 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{14321.115293303 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =1461.33829\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 1461.34 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 1461.34 metros

c) Hallamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (120 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (42^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{240\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.6691306063588 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{240\ \ . \ 0.6691306063588 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{160.59134552612 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =16.38697\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =16.39 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 16.39 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento