El área del anillo mostrado en la figura (región sombreada) es de 101.25π cm2. Si la circunferencia interna mide 18π cm. ¿Cuál es el radio en centímetros de la circunferencia externa (r2)? Use todas las cifras decimales que obtenga durante sus cálculos y también al dar su respuesta. ayuda :Ç
Respuestas
El problema se remite a encontrar el área del círculo interno (R1), puesto que ya conociendo el de la región sombreada, el círculo de radio R2 sería la suma las áreas de R1 mas la región sombreada
El área del círculo externo de radio r2 será:
ÁreaR2 = ÁreaR1 + 101,25π
Si la longitud del círculo de R1 ⇒ L = 18π
18π = 2π(r1)
r1 = 9 cm
ÁreaR1 = (π)(9 cm)^2
ÁreaR1 = 81π cm^2
ÁreaR2 = 81π + 101,25π
ÁreaR2 = 182,25π cm^2
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Respuesta:
El radio de la circunferencia externa del anillo circular es 10.5 cm.
Explicación paso a paso:
El área del anillo circular es 61.25\pi cm^{2}61.25πcm2 :
A=61.25\pi cm^{2}A=61.25πcm2
La circunferencia interna (utilicemos el subíndice 1 para denotarla) mide 14\pi cm14πcm :
Longitud de Circunferencia 1 (interna): L_{1} =14\pi cmL1=14πcm
Cuál es el radio de la circunferencia externa (utilicemos el subíndice 2 para denotarla):
Radio de la Circunferencia 2 (externa): r_{2}=?r2=?
Fórmula para calcular el área de un anillo circular:
A=\pi (r_{2} ^{2} -r_{1} ^{2} )A=π(r22−r12)
De esta fórmula, tenemos el área (A) y nos piden r_{2}r2 , pero necesitamos r_{1}r1 , que no es dado pero se puede calcular, porque nos dan la longitud de la circunferencia interna.
Fórmula para calcular la longitud (LL )de una circunferencia:
L=2\pi rL=2πr
Tenemos la longitud de la circunferencia 1 (interna) y podemos hallar su radio (r_{1}r1 ):
L_{1}=2\pi r_{1}L1=2π r1
Sustituyendo L_{1}L1 en la fórmula de arriba:
14\pi cm=2\pi r_{1}14πcm=2πr1
Despejando r_{1}r1 :
\frac{14\pi cm}{2\pi }=\frac{2\pi r_{1} }{2\pi }2π14πcm=2π2πr1
7 cm=r_{1}7cm=r1
r_{1}=7 cmr1=7cm
Reemplazando ahora AA y r_{1}r1 en la fórmula del área de un anillo circular:
A=\pi (r_{2} ^{2} -r_{1} ^{2})A=π(r22−r12)
61.25\pi cm^{2}=\pi (r_{2} ^{2} -(7 cm)^{2} )61.25πcm2=π (r22−(7cm)2)
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre \piπ para poder despejar a r_{2}r2 , y elevando al cuadrado los 7 cm, tenemos:
\frac{61.25\pi cm^{2} }{\pi} =\frac{\pi (r_{2} ^{2} -49cm^{2} )}{\pi }π61.25πcm2=ππ(r22−49cm2)
61.25cm^{2}=r_{2} ^{2}-49cm^{2}61.25cm2=r22−49cm2
Despejando primero r_{2} ^{2}r22 :
61.25cm^{2}+49 cm^{2} =r_{2} ^{2}-49cm^{2} +49 cm^{2}61.25cm2+49cm2=r22−49cm2+49cm2
110.25 cm^{2}=r_{2} ^{2}110.25cm2=r22
Para poder finalmente despejar a r_{2}r2 , debemos eliminar el exponente, y esto lo logramos extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación para que ésta no se altere:
\sqrt{110.25 cm^{2} } =\sqrt{r_{2} ^{2} }110.25cm2=r22
10.5 cm=r_{2}10.5
Explicación paso a paso:
El radio de la circunferencia externa del anillo circular es 10.5 cm.
Explicación paso a paso:
El área del anillo circular es 61.25\pi cm^{2}61.25πcm2 :
A=61.25\pi cm^{2}A=61.25πcm2
La circunferencia interna (utilicemos el subíndice 1 para denotarla) mide 14\pi cm14πcm :
Longitud de Circunferencia 1 (interna): L_{1} =14\pi cmL1=14πcm
Cuál es el radio de la circunferencia externa (utilicemos el subíndice 2 para denotarla):
Radio de la Circunferencia 2 (externa): r_{2}=?r2=?
Fórmula para calcular el área de un anillo circular:
A=\pi (r_{2} ^{2} -r_{1} ^{2} )A=π(r22−r12)
De esta fórmula, tenemos el área (A) y nos piden r_{2}r2 , pero necesitamos r_{1}r1 , que no es dado pero se puede calcular, porque nos dan la longitud de la circunferencia interna.
Fórmula para calcular la longitud (LL )de una circunferencia:
L=2\pi rL=2πr
Tenemos la longitud de la circunferencia 1 (interna) y podemos hallar su radio (r_{1}r1 ):
L_{1}=2\pi r_{1}L1=2π r1
Sustituyendo L_{1}L1 en la fórmula de arriba:
14\pi cm=2\pi r_{1}14πcm=2πr1
Despejando r_{1}r1 :
\frac{14\pi cm}{2\pi }=\frac{2\pi r_{1} }{2\pi }2π14πcm=2π2πr1
7 cm=r_{1}7cm=r1
r_{1}=7 cmr1=7cm
Reemplazando ahora AA y r_{1}r1 en la fórmula del área de un anillo circular:
A=\pi (r_{2} ^{2} -r_{1} ^{2})A=π(r22−r12)
61.25\pi cm^{2}=\pi (r_{2} ^{2} -(7 cm)^{2} )61.25πcm2=π (r22−(7cm)2)
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre \piπ para poder despejar a r_{2}r2 , y elevando al cuadrado los 7 cm, tenemos:
\frac{61.25\pi cm^{2} }{\pi} =\frac{\pi (r_{2} ^{2} -49cm^{2} )}{\pi }π61.25πcm2=ππ(r22−49cm2)
61.25cm^{2}=r_{2} ^{2}-49cm^{2}61.25cm2=r22−49cm2
Despejando primero r_{2} ^{2}r22 :
61.25cm^{2}+49 cm^{2} =r_{2} ^{2}-49cm^{2} +49 cm^{2}61.25cm2+49cm2=r22−49cm2+49cm2
110.25 cm^{2}=r_{2} ^{2}110.25cm2=r22
Para poder finalmente despejar a r_{2}r2 , debemos eliminar el exponente, y esto lo logramos extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación para que ésta no se altere:
\sqrt{110.25 cm^{2} } =\sqrt{r_{2} ^{2} }110.25cm2=r22
10.5 cm=r_{2}10.5