Question

Hola, ayuden por favor, gracias de antemano.

Una tolval horizontal tiene 20 m de largo y tiene una sección transversal triangular isósceles de 8 cm de base en la parte superior y 10 cm de profundidad (altura sobre la base de dicha parte superior). Debido al agua de lluvia en el interior está aumentando a una tasa ½ cm / min en el instante eque esta a 5 cm de profundidad. ¿Qué tan rápido el volumen de agua está creciendo en ese momento?

Answer 1

- Lo único que permanece constante es la largura del toval (20 m)
- Aprovechando que el volumen del paralelepípedo es = área de la base x altura, entonces solo nos enfocaremos en el área de la región transversal (del triángulo)

- la base del triángulo que se forma por el agua a una altura h (en cm) mide

                                    $b=\dfrac{4}{5}(10-h)$

- calculemos el área a esa profundidad

                 $A(h)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{5}(10-h)\times(10-h)\\ \\ \\ ~~~~~~~~\boxed{A(h)=\dfrac{2}{5}(10-h)^2}$

- por dato tenemos que en el instante $t=t_0$ la velocidad del cambio de profundidad es

                               $\left.\dfrac{dh}{dt}\right|_{t=t_0}$

- Hallemos la velocidad del cambio de área tranversal (en cm²)

                     $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dh}\cdot \dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dA}{dt}=-\dfrac{4}{5}(10-h)\cdot \dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ \left.\dfrac{dA}{dt}\right|_{t=t_0}=-\dfrac{4}{5}(10-5)\cdot \dfrac{-1}{2}\\ \\ \\ \left.\dfrac{dA}{dt}\right|_{t=t_0}=\dfrac{2\text{ cm}^2}{\text{min}}$

Ojo: Puse -1/2 ya que la profundidad disminuye

- Entonces la velocidad del volumen en ese instante es

                                $\left.\dfrac{dV}{dt}\right|_{t=t_0}=\dfrac{2 \text{cm}^2}{\text{min}}\cdot 2000 \text{ cm}\\ \\ \\ \\ ~~~~\boxed{\left.\dfrac{dV}{dt}\right|_{t=t_0}=\dfrac{4000\text{ cm}^2}{\text{min}}}$