Question

Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones y= x^3 y y=2x-x^2 .El área se expresa en unidades de superficie.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:

1) Se determinan los puntos de corte entre las dos funciones:

Se igualan las y de las funciones:

x^3 = -x^2 + 2x

x^3 + x^2 - 2x = 0

x1 = 0

x2 = 1

x3 = -2

Los puntos de corte entre las funciones son x1 = 0, x2 = 1 y x3 = -2.

2) Se determina el área que encierran estas curvas mediante integrales.

A1 = |∫[x^3 - (-x^2 + 2x)]dx| (Desde -2 hasta 0)

A2 = |∫(-x^2 + 2x - x^3)dx| (Desde 0 hasta 1)

El área total viene dada por:

At = A1 + A2

Calculando A1:

A1 = |∫[x^3 - (-x^2 + 2x)]dx|

A1 = |∫[x^3 + x^2 - 2x]dx|

A1 = |x^4/4 + x^3/3 - x^2| (Desde -2 hasta 0)

A1 = |[(-2)^4/4 + (-2)^3/3 - (-2)^2] - [(0)^4/4 + (0)^3/3 - (0)^2]|

A1 = |-8/3|

A1 = 8/3

Calculando A2:

A2 = |∫(-x^2 + 2x - x^3)dx|

A2 = |-x^3/3 + x^2 - x^4/4| (Desde 0 hasta 1)

A2 = |[-(1)^3/3 + (1)^2 - (1)^4/4] - [-(0)^3/3 + (0)^2 - (0)^4/4]|

A2 = |5/12|

A2 = 5/12

Calculando el área total se tiene que:

At = 8/3 + 5/12 = 37/12 u^2

El área de la región delimitada por las curvas es de 37/12 u^2.