Question

Con base en los datos de la siguiente figura, halla el valor de x. Considera que el lado AB es igual al lado PD y el lado AP es igual al lado CD.

Answer 1

La medida del ángulo x es de 55°,

Explicación paso a paso:

Si las longitudes de los lados de la figura son AB=PD y AP=CD, y en los dos triángulos tanto los lados AB y AP como los lados CD y PD forman un ángulo de 70°, los triángulos ABP y PCD son congruentes por el caso LAL.

Entonces tenemos PB=PC y el triángulo BPC es isósceles, y los ángulos x y PBC son congruentes.

Además tenemos las congruencias de ángulos APB=DCP y ABP=DPC.

En el cuadrilátero ABCD tenemos:

BAP+ABC+BCD+CDP=70°+ABC+BCD+70°=140°+ABC+BCD=360°.

ABC+BCD=360°-140°

ABC+BCD=220°.

ABP+PBC+x+DCP=220°

PBC=x

ABP+DCP+2x=220°.

Y además, en el punto P tenemos la siguiente igualdad:

APB+BPC+DPC=180°

Aplicando el teorema de los ángulos internos al triángulo BPC y sabiendo que PBC=x tenemos:

2x+BPC=180°.

Igualando las dos últimas ecuaciones tenemos:

APB+BPC+DPC=2x+BPC

APB+DPC=2x.

Pasamos en limpio y queda:

ABP+DCP+2x=220°

APB+DPC=2x.

Pero como es ABP=DPC y DCP=APB queda, sumando miembro a miembro:

ABP+DCP=APB+DPC=2x

Y en la primera ecuación queda:

2x+2x=220°

4x=220°

x=55°.