Question

un proyectil es lanzado por un cañón con una velocidad de 115m/sen un ángulo de 50° alcanzado su objetivo. Determinar a qué distancia se encontraba el objetivo y en cuanto tiempo alcanzó su objetivo? ​

Answer 1

El alcance máximo del proyectil es de 1328.99 metros encontrándose el objetivo a esa distancia

El tiempo de vuelo del proyectil es de 17.98 segundos alcanzando el objetivo para ese instante de tiempo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Cálculo de la distancia al objetivo (alcance máximo)

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 115 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 50^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 13225 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (100^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 13225 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9848077530122 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 13225 \ . \ 0.9848077530122 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{13024.082533586 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =1328.98801\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 1328.99 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 1328.99 metros

Hallamos el tiempo de vuelo para saber cuanto demoró hasta el objetivo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (115 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (50^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{230\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.7660444431189 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{230\ \ . \ 0.7660444431189 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{176.19022191736 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =17.97859\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =17.98 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 17.98 segundos

Aunque el enunciado no lo pida hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(115 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (50^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{13225\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.7660444431189)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{13225 \ . \ 0.5868240888334 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{7760.7485748225 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 395.35655\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 395.96\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 395.96 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento