Question

Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de 10m/s.
Desde lo alto de una terraza a una altura de 20m.
a) ¿Encontrar el alcance horizontal del objeto al tocar el suelo?
b) ¿El tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo?

Answer 1

a) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 20 metros, siendo esta la distancia horizontal recorrida por el objeto al tocar el suelo

b) El tiempo de vuelo del objeto es de 2 segundos demorando ese instante de tiempo en llegar al suelo

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Las ecuaciones del tiro horizontal son

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}$

Dado que

$\boxed {\bold { y_{0}= H }}$

$\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a_{y}= g }}$

Podemos reescribir como:

Posición

Para el eje x

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V \ . \ t }}$

Para el eje y

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Velocidad

Para el eje x

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Para el eje y

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} =g$

SOLUCIÓN

a) Determinamos el alcance horizontal del objeto al tocar el suelo

Donde para hallar el alcance máximo del cuerpo debemos calcular primero el tiempo de vuelo

Luego calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del  objeto

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde se ha lanzado $\bold {H= 20 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 20 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 40\not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{4\ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 2 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del objeto es de 2 segundos

Determinamos el alcance horizontal del objeto

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =10 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 2\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 20 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 20 metros, siendo esta la distancia horizontal recorrida por el objeto al tocar el suelo

b) Sobre el tiempo que tarda el objeto el tocar el suelo

El tiempo que demora el objeto en llegar al suelo está determinado por el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil

Habiéndose calculado el tiempo de vuelo para resolver el inciso anterior

El tiempo de vuelo del objeto es de 2 segundos demorando ese instante de tiempo en llegar al suelo

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento