Cynthia está preocupada por la acumulación de plástico en el ambiente, así que se le ocurre la gran idea de elaborar su propia colchoneta para realizar sus actividades físicas, reutilizando las bolsas de plástico que tiene acumuladas en casa. Por ello, investiga en internet e inicia su labor tejiendo una tira de 3,6 metros de longitud, con la cual formará el contorno de su colchoneta. Luego de unir ambos extremos de la tira, se pregunta lo siguiente:
¿qué longitud deberán tener los lados de la colchoneta si deseo obtener un área máxima?
Respuestas
La longitud deberán tener los lados de la colchoneta si deseo obtener un área máxima es:
largo = ancho = 0,9 m
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Qué longitud deberán tener los lados de la colchoneta si deseo obtener un área máxima?
El perímetro de la colchoneta es 3,6 m:
3,6 = 2a + 2 b
Siendo;
- a: largo
- b: ancho
Despejar a;
a = 1,8 - b
Sustituir a en A;
A = (1,8 - b)(b)
A = 1,8b - b²
Aplicar primera derivada;
A' = d/db(1,8b - b²)
A' = 1,8 - 2b
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/db(1,8 - 2b)
A'' = -2
Igualar a cero la primera derivada;
1,8 - 2b = 0
Despejar b;
b = 1,8/2
b = 0,9 m
Sustituir;
a = 1,8 - 0,9
a = 0,9 m
Amax = 1,8(0,9) - (0,9)²
Amax = 0,81 m²
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