Question

La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104. Hallar la media proporcional, si la razón es 2/3.

Answer 1

En este tipo de proporciones, los medios son iguales, es decir que sería de esta forma.
$\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$

Si los extremos suman 104, se plantea:   x+z = 104
Y de ahí se despeja ... z = 104-x

Sustituyo eso en la proporción y me queda esto:
$\frac{x}{y} = \frac{y}{104-x}$

Si la razón es 2/3, también se plantea esta otra proporción:
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$

Con ello tienes un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. 
Modifico la 1ª ecuación:
$\frac{x}{y} = \frac{y}{104-x} \\ \\ 104x-x^2=y^2$

Modifico la 2ª ecuación:
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \\ \\ 3x=2y \ \ \ elevo\ los\ dos\ terminos\ al\ cuadrado... \\ \\ 9x^2=4y^2 \ \ \ despejo \ \ y^2 \\ \\ y^2= \frac{9x^2}{4}$

Resuelvo por igualación...
$104x-x^2=\frac{9x^2}{4} \\ \\ 416x-4x^2=9x^2 \\ \\ 13x^2-416x=0 \\ \\ x*(13x-416)=0 \\ \\ 1\ª \ solucion:\ x=0 \\ \\ 2\ª \ solucion:\ 13x-416=0 \\ \\ x= \frac{416}{13}=32$

Desestimando la solución cero, tenemos que x = 32

Nos pide hallar la media proporcional que es la incógnita "y", 
Se sustituye el valor de "x" en la 2ª ecuación...

$\frac{32}{y} = \frac{2}{3} \\ \\ y= \frac{32*3}{2} = \frac{96}{2} =48$

Saludos.