La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104. Hallar la media proporcional, si la razón es 2/3.
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30
En este tipo de proporciones, los medios son iguales, es decir que sería de esta forma.
![\frac{x}{y} = \frac{y}{z} \frac{x}{y} = \frac{y}{z}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D+%5Cfrac%7By%7D%7Bz%7D+)
Si los extremos suman 104, se plantea: x+z = 104
Y de ahí se despeja ... z = 104-x
Sustituyo eso en la proporción y me queda esto:
![\frac{x}{y} = \frac{y}{104-x} \frac{x}{y} = \frac{y}{104-x}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D+%5Cfrac%7By%7D%7B104-x%7D+)
Si la razón es 2/3, también se plantea esta otra proporción:
![\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+)
Con ello tienes un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Modifico la 1ª ecuación:
![\frac{x}{y} = \frac{y}{104-x} \\ \\ 104x-x^2=y^2 \frac{x}{y} = \frac{y}{104-x} \\ \\ 104x-x^2=y^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D+%5Cfrac%7By%7D%7B104-x%7D+%5C%5C++%5C%5C+104x-x%5E2%3Dy%5E2)
Modifico la 2ª ecuación:
![\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \\ \\ 3x=2y \ \ \ elevo\ los\ dos\ terminos\ al\ cuadrado... \\ \\ 9x^2=4y^2 \ \ \ despejo \ \ y^2 \\ \\ y^2= \frac{9x^2}{4} \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \\ \\ 3x=2y \ \ \ elevo\ los\ dos\ terminos\ al\ cuadrado... \\ \\ 9x^2=4y^2 \ \ \ despejo \ \ y^2 \\ \\ y^2= \frac{9x^2}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5C%5C++%5C%5C+3x%3D2y+%5C+%5C+%5C+elevo%5C+los%5C+dos%5C+terminos%5C+al%5C+cuadrado...+%5C%5C++%5C%5C+9x%5E2%3D4y%5E2+%5C+%5C+%5C+despejo++%5C+%5C+y%5E2+%5C%5C++%5C%5C+y%5E2%3D+%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7B4%7D+)
Resuelvo por igualación...
![104x-x^2=\frac{9x^2}{4} \\ \\ 416x-4x^2=9x^2 \\ \\ 13x^2-416x=0 \\ \\ x*(13x-416)=0 \\ \\ 1\ª \ solucion:\ x=0 \\ \\ 2\ª \ solucion:\ 13x-416=0 \\ \\ x= \frac{416}{13}=32 104x-x^2=\frac{9x^2}{4} \\ \\ 416x-4x^2=9x^2 \\ \\ 13x^2-416x=0 \\ \\ x*(13x-416)=0 \\ \\ 1\ª \ solucion:\ x=0 \\ \\ 2\ª \ solucion:\ 13x-416=0 \\ \\ x= \frac{416}{13}=32](https://tex.z-dn.net/?f=104x-x%5E2%3D%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7B4%7D+%5C%5C+%5C%5C+416x-4x%5E2%3D9x%5E2+%5C%5C+%5C%5C+13x%5E2-416x%3D0+%5C%5C+%5C%5C+x%2A%2813x-416%29%3D0+%5C%5C++%5C%5C+1%5C%C2%AA+%5C+solucion%3A%5C+x%3D0+%5C%5C++%5C%5C+2%5C%C2%AA+%5C+solucion%3A%5C+13x-416%3D0+%5C%5C++%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B416%7D%7B13%7D%3D32+)
Desestimando la solución cero, tenemos que x = 32
Nos pide hallar la media proporcional que es la incógnita "y",
Se sustituye el valor de "x" en la 2ª ecuación...
![\frac{32}{y} = \frac{2}{3} \\ \\ y= \frac{32*3}{2} = \frac{96}{2} =48 \frac{32}{y} = \frac{2}{3} \\ \\ y= \frac{32*3}{2} = \frac{96}{2} =48](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B32%7D%7By%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D++%5C%5C++%5C%5C+y%3D+%5Cfrac%7B32%2A3%7D%7B2%7D+%3D+%5Cfrac%7B96%7D%7B2%7D+%3D48)
Saludos.
Si los extremos suman 104, se plantea: x+z = 104
Y de ahí se despeja ... z = 104-x
Sustituyo eso en la proporción y me queda esto:
Si la razón es 2/3, también se plantea esta otra proporción:
Con ello tienes un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Modifico la 1ª ecuación:
Modifico la 2ª ecuación:
Resuelvo por igualación...
Desestimando la solución cero, tenemos que x = 32
Nos pide hallar la media proporcional que es la incógnita "y",
Se sustituye el valor de "x" en la 2ª ecuación...
Saludos.
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