Question

ayuda con estos tres problemas
a) dos cuerdas de diferentes longitudes estan en la razon 3:5
si cada cuerda hubiera sido de 10 metros mas larga ,sus longitudes estarian en la razón 2:3
¿cuantos metros mide cada cuerda?

b) O es el origen de coordenadas , A es el punto (3,4) y B es un punto en la recta que pasa por O y por A tal que la longitud de AB es 6 ¿cuales son las coordenadas de B?

c) la razon de semejanza del ΔKLM al ΔPQR es 3:1
si KM = x +4 , PR = 2x - 1 , RQ = x y KL = 4x+1, determine el perimetro del ΔPQR

Answer 1

Solución:

a)Tenemos:
1ra cuerda = x 
2da cuerda = y 

x / y = 3 / 5
x = 3k
y = 5k

(3k + 10) / (5k + 10) = 2 / 3

3(3k + 10) = 2(5k + 10)
9k + 30 = 10k + 20
30 - 20 = 10k - 9k
10 = k

x = 3k
x = 3(10)
x = 30

y = 5k
y = 5(10)
y = 50

x = 30 m
y = 50 m

b) Se tiene:
punto A = (x₁, y₁) = (3, 4)
punto B = (x₂, y₂)
punto O = (x₀, y₀) = (0, 0)
distancia AB = d₁ = 6
distancia AO = d₂
distancia OB = d₃
d₁ = d₂ + d₃

Utilizar:
d₂ = √((y₁ - y₀)² + (x₁ - x₀)²)
d₂ = √((4 - 0)² + (3 - 0)²)
d₂ = √((4)² + (3)²)
d₂ = √(16 + 9)
d₂ = √(25)
d₂ = 5

d₁ = d₂ + d₃
6 = 5 + d₃
6 - 5 = d₃
1 = d₃

El origen de coordenadas divide a la recta
en 2 rectas de igual pendiente:
(y₀ - y₂) / (x₀ - x₂) = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀) 
(0 - y₂) / (0 - x₂) = (y₁ - 0) / (x₁ - 0) 
(- y₂) / (- x₂) = (y₁) / (x₁) 
y₂ / x₂ = y₁ / x₁
y₂ / x₂ = 4 / 3
y₂ = 4k
x₂ = 3k

Utilizar:  
d₃ = √((y₀ - y₂)² + (x₀ - x₂)²)
1 = √((0 - 4k)² + (0 - 3k)²)
1 = √((- 4k)² + (- 3k)²)
1 = √(16k² + 9k²)
1 = √(25k²)
1 = 5k
1 / 5 = k

y₂ = 4k
y₂ = 4(1 / 5)
y₂ = 4 / 5

x₂ = 3k
x₂ = 3(1 /5)
x₂ = 3 / 5

x₂ = 3 / 5
y₂ = 4 / 5

c) Tenemos:
La razon de semejanza del ΔKLM al ΔPQR es 3:1 
KM = x + 4 
PR = 2x - 1 
RQ = x 
KL = 4x + 1
PQ = y
perimetro del ΔPQR = z
z = 2x - 1 + x + y = 3x + y - 1

(x + 4) / (2x - 1) = 3 / 1
(x + 4) = 3(2x - 1)
x + 4 = 6x - 3
4 + 3 = 6x - x
7 = 5x
7 / 5 = x

Reemplazando
KM = x + 4 = 7 / 5 + 4 = (7 + 20) / 5 = 27 / 5
PR = 2x - 1 = 2(7 / 5) - 1 = 14 / 5 - 1 = (14 - 5) / 5 = 9 / 5
RQ = x = 7 / 5
KL = 4x + 1 = 4(7 / 5) + 1 = 28 / 5 + 1 = (28 + 5) / 5 = 33 / 5
PQ = y 

(33 / 5) / y = 3 / 1
(33 / 5) / 3 = y
(11 / 5) / 1 = y
11 / 5 = y

Reemplazando:
z = 3x + y - 1
z = 3(7 / 5) + 11 / 5 - 1
z = 21 / 5 + 11 / 5 - 1
z = 32 / 5 - 1
z = (32 - 5) / 5

z = 27 / 5