Question

Pregunta 3.- En el plano XY se sitúan tres cargas puntuales iguales de 2 μC en los puntos
P1(1,-1) mm, P2(-1,-1) mm y P3(-1,1) mm. Determine el valor que debe tener una carga situada en
P4 (1,1) mm para que:

a) El campo eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál será el
potencial eléctrico en dicho punto?

b) El potencial eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál será el vector
de campo eléctrico en dicho punto?

Dato: Constante de Coulomb, K=9×10^9 N m^2C^-2

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Física.

Answer 1

Te dejo acá la respuesta para el ejercicio 3 de la prueba de selectividad de Madrid convocatoria Jun 2013 - 2014 de Física:

En el ejercicio nos dan los siguientes datos:

Ubicación de las cargas puntuales
P1(1,-1) mm
P2(-1,-1) mm 
P3(-1,1) mm. 
P4 (1,1) mm 

Carga: 2 μC

a) Nos piden encontrar cual es el potencial eléctrico en el punto (0,0) mm sabiendo que el campo eléctrico se anula en ese punto, para esto recurrimos al concepto de que el campo eléctrico total en un punto originado por cargas puntuales es el resultado de la suma vectorial de los campos eléctricos que generan cada una de las cargas (E = E₁ + E₂ + E₃)

Luego, para realizar el calculo del campo eléctrico en un punto usamos la suposición de que la carga es positiva, para poder establecer la dirección y el sentido del campo. Agregando que la distribución que indican de las cargas y el hecho de que sean iguales permite notar que los campos eléctricos creados en P₁ Y P₂ en el origen (0,0) son iguales pero de signo contrario por lo que se anulan. Por lo que el campo resultante de la combinación de esas tres cargas es E₂.

|E₁| = |E₂| = |E₃| = E = K. $\frac{Q}{d^{2} }$ 

Donde,

d = $\sqrt{( 1x10^{-3} )^{2} + ( 1x10^{-3} )^{2} } = \sqrt{2} x10^{-3}$

Luego,

E = $9x10^{9} . \frac{ 6x10^{-6} }{ ( \sqrt{2} x10^{-3} )^{2} } =$ $9x10^{9} \frac{N}{C}$

sen α = cos α = $\frac{1}{ \sqrt{2} }$

Entonces

E₁ = -E.cosα i + E.senα j = $-9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } i$ + $9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } j$

E₂ = E.cosα i + E.senα j = $9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } i$ + $9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } j$

E₃ = E.cosα i - E.senα j = $9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } i$ - $9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } j$

Etotal = E₁ + E₂ + E₃ = $9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } i + 9x10^{9}. \frac{1}{ \sqrt{2} } j$

Para que el campo en (0,0) sea nulo se debe cumplir que Etotal + E₄ = 0. 

∴ E₄ = -Etotal

Para que el campo que crea P₄ tenga el sentido contrario al del resultando de las otras tres cargas puntuales, la carga en P₄ debe ser positiva.

Por lo que si E₄ = -Etotal ⇒ |E₄| = |Etotal|

$9x10^{9}. \frac{ Q_{4} }{(\sqrt{2} x10^{-3} )^{2} } = \sqrt{ ( \frac{ 9x10^{9} }{ \sqrt{2} } )^{2} + \frac{ 9x10^{9} }{ \sqrt{2} } )^{2} } =$ $9x10^{9}$

∴ Q₄ = $\frac{ 9x10^{9}. 2x10^{-6} }{ 9x10^{9} } = 2 x10^{-6}$ C = 2μC


Esta conclusión puede realizarse sin usar cálculos matemáticos, observando que por simetría los campos eléctricos generados por las cargas puntuales P₁ y P₂ en el punto de origen coordenado se anulan, por lo que las cargas P₂ y P₄ también deberán anularse, dejando que P₂ = P₄

Finalmente para el potencial creado en el origen por esta distribución de cargas es el resultado de la suma escalar de los potenciales de cada carga en el origen. 

V = ∑ $V_{i}$ = ∑ K. \frac{ Q_{i} }{d_{i}

V = $K. \frac{ Q_{1} }{ d_{1} }$ + $K. \frac{ Q_{2} }{ d_{2} }$ + $K. \frac{ Q_{3} }{ d_{3} }$ +  $K. \frac{ Q_{4} }{ d_{4} }$

V = $4.K. \frac{Q}{d}$
V = $4.K. \frac{Q}{d}$
$V = 4. 9x10^{9}. \frac{2x10^{-6} }{ \sqrt{2} x10^{-3} } =$ 5,09x10⁷ v

b) Para conocer cual es el vector de campo eléctrico en el punto de origen coordenado (0,0) tal que el potencial eléctrico en dicho punto se anule:

V = K.$\frac{ Q_{1} }{ d_{1} }$ + $K\frac{ Q_{2} }{ d_{2} }$ + $K\frac{ Q_{3} }{ d_{3} }$ + $K\frac{ Q_{4} }{ d_{4} }$ 

V = $3K\frac{ Q }{ d} + K\frac{ Q_{4} }{ d_{4} }$ = 0

Despejando obtenemos que:

$K\frac{ Q_{4} }{ d_{4} } = -3.K. \frac{Q}{d}$

∴ Q₄ = -3Q = -3.2x10⁻⁶ = -6x10⁻⁶ C = -6μC

Para el campo eléctrico:

E = E₁ + E₂ + E₃ + E₄

|E₄| = E₄ = K.$\frac{ Q_{4} }{ d^{2} }$ = 9x10⁹ . $\frac{ 6x10^{-6} }{ ( \sqrt{2} x10^{-3} )^{2} }$ = 27x10⁹ N/C 

Usando la suposición de que en el centro la carga es positiva se puede conocer la dirección y el sentido del campo que crea cada una de las cargas: 

 

E₁ = -E.cosα i + E.senα = -9x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ i +  9x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ j

E₂ = E.cosα i + E.senα = 9x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ i +  9x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ j

E₃ = E.cosα i - E.senα = 9x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ i -  9x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ j

E₄ = E.cosα i + E.senα = 27x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ i +  27x10⁹ $\frac{1}{ \sqrt{2} }$ j

E = E₁ + E₂ + E₃ + E₄ = 18$\sqrt{2}$ x10⁹ i + 18$\sqrt{2}$ x10⁹ j