Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dados los puntos A(2, −2, 1), B(0, 1, −2), C(−2, 0, −4), D(2, −6, 2), se pide:
a) (1 punto) Probar que el cuatrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar
la distancia entre los dos lados paralelos.
b) (1 punto) Hallar el área del triángulo ABC.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas
a) Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos.
Para comenzar se forman los vectores que serán los lados del cuadrilátero.
AB = B – A = (0, 1, −2) – (2, −2, 1) = (-2, 3, -3)
BC = C – B = (−2, 0, −4) - (0, 1, −2) = (-2, -1, -2)
CD = D – C = (2, −6, 2) – (−2, 0, −4) = (4, -6, 6)
DA = A – D = (2, −2, 1) - (2, −6, 2) = (0, -4, -1)
Para determinar si existen vectores paralelos, debe existir una constante λ que al multiplicar a uno de los vectores lo convierta en el otro (linealmente dependiente).
AB = λ*CD
(-2, 3, -3) = λ*(4, -6, 6)
λ = -1/2
Por lo tanto AB y CD son paralelos.
BC = λ*DA
(-2, -1, -2) = λ*(0, -4, -1)
BC y DA no son paralelos.
Con esto se concluye que el cuadrilátero es un trapecio.
Ahora para conocer la altura del trapecio se busca la distancia que hay desde el punto C hasta la recta que pasa por AB.
D = |AC x AB| / |AB|
El vector AC es:
AC = C – A = (−2, 0, −4) - (2, −2, 1) = (-4, 2, -5)
AC x AB = (-4, 2, -5) x (-2, 3, -3) = (9, -2, 8)
|AC x AB| = √(9)^2 + (-2)^2 + (8)^2 = √149
|AB| = √(-2)^2 + (3)^2 + (-3)^2 = √22
D = √149 / √22 = √149/22
b) Hallar el área del triángulo ABC.
El área del triángulo formado por los puntos A, B y C se calcula de la siguiente forma:
Área = |AC x AB| / 2 = √149 / 2 u^2
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.