Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dadas la matrices:
A = 1 1 a a
a 1 1 a
a a 1 1
a a a 1
X =x
y
z
w
O = 0
0
0
0
se pide:
a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.
b) (0,5 puntos) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1.
c) (1 punto) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = −1.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II..
Respuestas
a) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.
Para calcular el Det(A) se deben aplicar los siguientes artificios:
|1 1 a a| |1 1 a a |
Det(A) = |a 1 1 a| -> F2 = F2 – a*F1 = |0 1-a 1-a^2 a-a^2|
|a a 1 1| F3 = F3 – a*F1 |0 0 1-a^2 1-a^2|
|a a a 1| F4 = F4 – a*F1 |0 0 a-a^2 1-a^2|
Con esto Det(A) queda:
(1-a 1-a^2 a-a^2)
Det(A) = (1)(1)^2 * (0 1-a^2 1-a^2)
(0 a-a^2 1-a^2)
Det(A) = (1 + a)*(1 – a)^3
Para los rangos se tiene que:
Si a ≠ ±1 => |A| ≠ 0 (rango A = 4)
Si a = 1 => |A| = 0 (rango A = 1)
Si a = -1 => |A| = 0 (rango A = 3)
b) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1.
Si a = 1, la matriz A queda:
(1 1 1 1)
A = (1 1 1 1)
(1 1 1 1)
(1 1 1 1)
De esta forma la ecuación queda:
(1 1 1 1) (x) (0)
(1 1 1 1) * (y) = (0)
(1 1 1 1) (z) (0)
(1 1 1 1) (w) (0)
Llevando a cabo la multiplicación de matrices se tiene que el sistema de ecuaciones es:
x + y + z + w = 0
x + y + z + w = 0
x + y + z + w = 0
x + y + z + w = 0
Este sistema de ecuaciones se puede simplificar en uno solo el cual es:
x + y + z + w = 0
Como el sistema es de una ecuación con cuatro incógnitas, se deben dar valores al azar para tres variables y despejar la faltante, por ejemplo:
Si y = C, z = T y w = M
x = - C – T - M
c) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = −1.
Si a = -1, la matriz A queda:
(1 1 -1 -1)
A = (-1 1 1 -1)
(-1 -1 1 1)
(-1 -1 -1 1)
De esta forma la ecuación queda:
(1 1 -1 -1) (x) (0)
(-1 1 1 -1) * (y) = (0)
(-1 -1 1 1) (z) (0)
(-1 -1 -1 1) (w) (0)
Llevando a cabo la multiplicación de matrices se tiene que el sistema de ecuaciones es:
x + y – z – w = 0
-x + y + z – w = 0
-x – y + z + w = 0
-x – y – z + w = 0
La primera y la tercera ecuación son iguales por lo tanto el sistema se reduce a:
-x + y + z – w = 0
-x – y + z + w = 0
-x – y – z + w = 0
Como es un sistema de 3 ecuaciones con una incógnita, se debe suponer el valor de una variable y despejar las demás, por ejemplo:
w = T
-x + y + z – T = 0
-x – y + z + T = 0
-x – y – z + T = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
x = T
y = 0
z = 0
w = T
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.