Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función:
f(x) = [4/(x − 4)]+ [27/(2x + 2)]
se pide:

a) (0,75 puntos) Hallar las asíntotas de su gráfica.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

Answer 1

a) Hallar las asíntotas de su gráfica.

 

f(x) = (35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]

 

Primero se estudiarán las asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente:

 

X = C y Lím x -> a f(x) = ±∞

 

El evalúa el dominio de la función:

 

X – 4 ≠ 0

 

X ≠ 4

 

2X + 2 ≠ 0

 

X ≠ -1

 

D = R – {-1, 4}

 

Se calcula el límite de la función para X = -1 y X = 4:

 

Lím x -> -1 {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}

 

Se calculan los límites laterales:

 

Lím x -> -1- {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}= -135/0- = ∞

 

Lím x -> -1+ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = -135/0+ = -∞

 

Lím x -> 4 {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}

 

Se calculan los límites laterales:

 

Lím x -> 4- {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = 28/0- = -∞

 

Lím x -> 4+ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = 28/0+ = ∞

 

Si existen asíntotas en X = -1 y X = 4

 

Ahora se calculan las asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que:

 

f(x) = C y Lím x -> ±∞ f(x) = K

 

Evaluando el límite:

 

Lím x -> ±∞ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = ∞/∞ (Indeterminado)

 

Se aplica L’Hopital:

 

Lím x -> ±∞ [35 / (4X – 6)] = 35 / ±∞ = 0

 

Por lo tanto hay una asíntota horizontal en f(x) = 0.

 

Al existir asíntota horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota oblicua.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.