Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función:
f(x) = [4/(x − 4)]+ [27/(2x + 2)]
se pide:
a) (0,75 puntos) Hallar las asíntotas de su gráfica.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas
a) Hallar las asíntotas de su gráfica.
f(x) = (35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]
Primero se estudiarán las asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente:
X = C y Lím x -> a f(x) = ±∞
El evalúa el dominio de la función:
X – 4 ≠ 0
X ≠ 4
2X + 2 ≠ 0
X ≠ -1
D = R – {-1, 4}
Se calcula el límite de la función para X = -1 y X = 4:
Lím x -> -1 {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}
Se calculan los límites laterales:
Lím x -> -1- {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}= -135/0- = ∞
Lím x -> -1+ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = -135/0+ = -∞
Lím x -> 4 {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}
Se calculan los límites laterales:
Lím x -> 4- {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = 28/0- = -∞
Lím x -> 4+ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = 28/0+ = ∞
Si existen asíntotas en X = -1 y X = 4
Ahora se calculan las asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que:
f(x) = C y Lím x -> ±∞ f(x) = K
Evaluando el límite:
Lím x -> ±∞ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = ∞/∞ (Indeterminado)
Se aplica L’Hopital:
Lím x -> ±∞ [35 / (4X – 6)] = 35 / ±∞ = 0
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en f(x) = 0.
Al existir asíntota horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota oblicua.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.