Question

Encuentro las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en los puntos indicados. Represento en forma grafica 1. Hallo la ecuación de la recta tangente y normal a la curva ( ) 6 2 f x = x − x − en el punto P(4,6). 2. 2 y = x en (3,9) 3. 5 16 80 2 2 x + y = en (4,0)



Alguien que tenga por favor​

Answer 1

Las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a cada función en el punto  P  son:

1.    Recta tangente:  $\bold{y~=~7x~-~22}$      Recta normal:  $\bold{y~=~-\dfrac{x}{7}~+~\dfrac{46}{7}}$

2.    Recta tangentes:  $\bold{y~=~6x~-~9}$        Recta normal:  $\bold{y~=~-\dfrac{x}{6}~+~\dfrac{19}{2}}$

3.    Recta tangente:  $\bold{x~=~4}$        Recta normal:  $\bold{y~=~0}$

Explicación paso a paso:  

En cada caso, vamos a derivar y evaluamos la función derivada en los puntos dados para hallar la pendiente de la recta tangente. Con esa información construiremos la ecuación de la recta tangente y la recta normal solicitadas.

$\bold{1.~~y~=~x^2~-~x~-~6\qquad en~el~punto~~P~(4,~6)}$

Derivando la función

$\bold{\dfrac{dy}{dx}~=~ \dfrac{d (x^2~-~x~-~6)}{dx}~=~2x~-~1}$

La pendiente  mt  de la recta tangente se calcula evaluando la función derivada en el punto  P  de tangencia.

$\bold{\dfrac {dy}{dx}|_{(4,~6)}~=~mt~=~2(4)~-~1~=~7}$

La ecuación punto-pendiente de la recta, de pendiente mt y que pasa por el punto P (x₁, y₁), viene dada por:

$\bold{(y~-~y_{1})~=mt\cdot(x~-~x_{1})}$

La ecuación de la recta tangente es:

$\bold{(y~-~6)~=~(7)\cdot(x~-~4) \qquad \Rightarrow\qquad y~=~7x~-~22}$

Las rectas tangente y normal son perpendiculares entre si en el punto de tangencia. Dos rectas perpendiculares se caracterizan porque el producto de sus pendientes es -1; es decir

$\bold{mt\cdot mN~=~-1\qquad\Rightarrow\qquad mN~=~-\dfrac{1}{mt}}$

Calculemos la pendiente mN de la recta normal

$\bold{ mN~=~-\dfrac{1}{7}}$

La ecuación de la recta normal es:

$\bold{(y~-~6)~=~(-\dfrac{1}{7})\cdot(x~-~4) \qquad \Rightarrow\qquad y~=~-\dfrac{x}{7}~+~\dfrac{46}{7}}$

$\bold{2.~~y~=~x^2\qquad en~ ~P~(3,~9)}$

Derivando la función

$\bold{\dfrac{dy}{dx}~=~ \dfrac{d (x^2)}{dx}~=~2x}$

La pendiente  mt  de la recta tangente se calcula evaluando la función derivada en el punto  P  de tangencia.

$\bold{\dfrac {dy}{dx}|_{(3,~9)}~=~mt~=~2(3)~=~6}$

La ecuación de la recta tangente es:

$\bold{(y~-~9)~=~(6)\cdot(x~-~3) \qquad \Rightarrow\qquad y~=~6x~-~9}$

Calculemos la pendiente mN de la recta normal

$\bold{ mN~=~-\dfrac{1}{6}}$

La ecuación de la recta normal es:

$\bold{(y~-~9)~=~(-\dfrac{1}{6})\cdot(x~-~3) \qquad \Rightarrow\qquad y~=~-\dfrac{x}{6}~+~\dfrac{19}{2}}$

$\bold{3.~~5x^2~+~16y^2~=~80\qquad en ~~P~(4,~0)}$

Derivando implícitamente la función término a término con respecto a  x

$\bold{\dfrac{d (5x^2~+~16y^2)}{dx}~=~\dfrac{d(80)}{dx}\qquad \Rightarrow}$

$\bold{\dfrac{d (5x^2)}{dx}~+~\dfrac{d(16y^2)}{dx}~=~0\qquad \Rightarrow}$

$\bold{10x~+~32y\dfrac{dy}{dx}~=~0\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}~=~-\dfrac{5x}{16y}}$

La pendiente  mt  de la recta tangente se calcula evaluando la función derivada en el punto  P  de tangencia

$\bold{\dfrac {dy}{dx}|_{(4,~0)}~=~mt~=~-\dfrac{5(4)}{16(0)} \qquad\Rightarrow\qquad mt~no~existe~en~los~Reales}$

La pendiente de la recta tangente no está definida, lo que significa que la recta tangente es una recta vertical que pasa por el punto P:

La ecuación de la recta tangente es:

$\bold{x~=~4}$

Las rectas tangente y normal son perpendiculares entre si en el punto de tangencia. Por tanto, la recta normal es una recta horizontal, es decir,       mN  =  0,    que pasa por el punto P.

La ecuación de la recta normal es:

$\bold{y~=~0}$

En las gráficas anexas se observan la función, las dos rectas y el punto P en los tres casos.

Answer 2

Respuesta:

Espero les ayude :)

Explicación paso a paso:

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