Question

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.

Estudiar el rango de la matriz: A = 2 −1 −3 5
2 2 −1 a
1 1 1 6
3 1 −4 a
según los valores del parámetro a.

Prueba selectiva para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II . Muchas gracias

Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 4 de la prueba selectiva para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II 

Dada la matriz:

$A = \left[\begin{array}{cccc}2&-1&-3&5\\2&2&-1&a\\1&1&1&6\\3&1&-4&a\end{array}\right]$

Vamos a calcular cual es el rango de la matriz, para ellos realizamos operaciones por filas:

$A = \left[\begin{array}{cccc}2&-1&-3&5\\2&2&-1&a\\1&1&1&6\\3&1&-4&a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}F1&F2 + 2F1&F3 + F1&F4+F1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}2&-1&-3&5\\6&0&-7&a+10\\3&0&-2&11\\5&0&-7&a+5\end{array}\right]$

Reducimos la matriz a una 3x3:

$\left[\begin{array}{ccc}6&-7&a+10\\3&-2&11\\5&-7&a+5\end{array}\right]$

Calculamos el determinante:

det (A) = 12 -2a = 0

Despejamos,

a = 6

Comparamos los casos posibles:

Si a ≠ 6   ⇒ det(A) ≠ 0   ∴ Rango(A) = 4
Si a = 6   ⇒ det(A) = 0   ∴ Rango(A) < 4

Luego, 

$det (\left[\begin{array}{ccc}2&-1&-3\\2&2&-1\\1&1&1\end{array}\right]) = 9$  ≠ 0   ⇒ Rango(A) = 3