Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.

Dada la ecuación matricial:

a 2 B = 1 1
3 7 · 1 1

,
donde B es una matriz cuadrada de tama˜no 2 × 2, se pide:

a) (1 punto) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución.

b) (1 punto) Calcular B en el caso a = 1.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Gracias

Answer 1

Esta es la solución al ejercicio 3 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II:

Dada la ecuación matricial, suponiendo que B es también una matriz de 2x2:

$\left[\begin{array}{cc}a&2\\3&7\\\end{array}\right]. B = \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\\\end{array}\right]$

a) Determinamos cuales son los valores de a para los que la ecuación se satisface y genera esa solución:

$A . B = C$ 

Despejando:

$B = A^{-1}. C$

Esta ecuación solo tiene solución si A es una matriz invertible. Para saber que valores de a generan una matriz invertible debemos calcular el determinante de A:

det(A) = 7a - 6 = 0
a = $\frac{6}{7}$

si a = $\frac{6}{7}$   ⇒  det(A) = 0  ∴ A no es invertible

si a ≠ $\frac{6}{7}$   ⇒  det(A) ≠ 0  ∴ A es invertible

b) Calculamos cual es la matriz B para cuando a = 1    

$A = \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&7\\\end{array}\right]$

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}7&-3\\-2&1\\\end{array}\right]$

Luego,

$B = A^{-1}. C = \left[\begin{array}{cc}7&-2\\-3&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5&5\\-2&-2\\\end{array}\right]$