Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:
(5 sen x/(2x)) + 1/2, si x < 0 ,
f(x) = a , si x = 0 ,
xe^x + 3 , si x > 0 ,
se pide:

a) (1 punto) Hallar, si existe, el valor de a para que f(x) sea continua.

b) (1 punto) Decidir si la funcion es derivable en x = 0 para algún valor de a.

c) (1 punto) Calcular la integral:
∫ f(x) dx, entre 1 y ln 5.
donde ln denota logaritmo neperiano.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Por favor

Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 2 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II:

Nos dan la siguiente función f(x):

$\frac{5senx}{2x}$ +  $\frac{1}{2}$       x < 0
 
        $a$                                                              x = 0
 
      $x e^{x} + 3$                                                x > 0

a) Analizamos si existe un valor de a que haga que la función f(x) sea continua, para esto analizamos los limites en los posibles puntos de discontinuidad, que en nuestro caso sería x = 0.

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{5senx}{2x} + \frac{1}{2} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{10senx + 2x}{4x} = \frac{0}{0}$    forma indeterminada

Usando la regla de L'Hopital:

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{10senx + 2x}{4x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{10cosx + 2}{4} = 3$

$\lim_{x \to 0^{+}} x e^{x} + 3 = 3$

∴ Como el limite existe, la función f(x) es continua


b) Si f(x) es derivable en x = 0 entonces solo lo sería para a = 3 mientras que para cualquier otro valor de x la función sería discontinua y en consecuencia no derivable.

Para que una función sea derivable en un punto debe serlo tanto por la derecha como por la izquierda de la función (f'(0⁻) = f'(0⁺)):

f'(0⁻)  = $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{5sen(0+h)}{2(0+h)} + \frac{1}{2} - 3}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{5sen(h) - 5h}{2h^{2}}$

f'(0⁻) = $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{5cos(h)-5}{4h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{5cos(h)}{4} = 0$

f'(0⁺) = $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(0+h) e^{0+h} +3 -3)}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{h e^{h}}{y} = 1$

f'(0⁻) ≠ f'(0⁺)  ⇒ ∴ la función no es derivable en el punto x = 0


c) Calculamos la siguiente integral definida (a = ln 5 = 1,6094379), usando la integración por partes: 

$\int\limits^a_1 {x e^{x} + 3} \, dx = xe^{x} - \int\limits^a_1 {e^{x}\, dx + 3x = 3x + e^{x} (x-1) + C$

Evaluamos en los limites de integración:

[tex] \int\limits^a_1 {x e^{x} + 3} \, dx = 8(ln5 - 1) = 4,88