Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.

Dados el plano π y la recta r siguientes:

π ≡ 2x − y + 2z + 3 = 0

x = 1 − 2t
r ≡ y = 2 − 2t
z = 1 + t

se pide:

a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de r y π.

b) (1 punto) Calcular la distancia entre r y π.

c) (1 punto) Obtener el punto P ′simétrico de P(3, 2, 1) respecto del plano π.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Por favor

Answer 1

Resolvemos el ejercicio 1 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014 de Matemáticas II de la siguiente forma, primero considerando que:

Nos dan el siguiente plano

π ≡  2x - y + 2z + 3 = 0

y la siguiente recta

r ≡  x = 1 -2t          y = 2 - 2t         z = 1+t

a) Nos piden estudiar cual es la posición relativa tanto del plano como de la recta, la cual está paramétrizada: 

2(1-2t) - (2-2t) + 2(1+t) + 3 = 0
2 - 4t -2 + 2t + 2 + 2t + 3 = 0
5 = 0     - Incongruencia

Entonces, la recta r está paralela al plano π, por lo que:

→   →
$u_{r}$. $u_{ \pi}$ = -2.2 + (-2)(-1) + 1.2 = 0

→     →
$u_{r}$ ⊥ $u_{ \pi}$

b) Ahora calculamos la distancia entre la recta y el plano, para t = 0:

Pr(1,2,1), entonces: d(Pr, π) = $\frac{2-2+2+3}{ \sqrt{4+1+4}} = \frac{5}{3} u$


c) Nos piden obtener un punto P' que sea simétrico a P(3,2,1) respecto al plano π, para esto primero debemos calcular una recta que sea perpendicular a π y pase por el punto P:

s:      $u_{s}$ = $u_{ \pi}$ = (2,-1,2)
         Ps = (3,2,1)

Ahora buscamos un punto P'' que corte entre la recta s y la π

$\frac{P+P'}{2} = P''$

$P' = 2P'' - P = (2,6,-2) - (3,2,1) = (-1,4,3)$