Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función f(x) = { a + ln(1 − x), si x < 0 , x 2 e −x , si x ≥ 0 , (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:
a) (1 punto) Calcular lımx→∞ f(x) y lım x→−∞ f(x).
b) (1 punto) Calcular el valor de a, para que f(x) sea continua en todo R.
c) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ′ , donde sea posible. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II

Answer 1

a) Calcular lımx→∞ f(x) y lım x→−∞ f(x).

 

Para el límite cuando x tiende a ∞ se aplica en primer lugar una evaluación:

 

lımx→∞ (x^2 * e^–x) = 0*∞ (indeterminado)

 

Se reacomoda la función:

 

lımx→∞ (x^2 / e^x) = ∞/∞ (Indeterminado)

 

Aplicando L’Hopital.

 

lımx→∞ (2x / e^x) = ∞/∞ (Indeterminado)

 

Aplicando L’Hopital.

 

lımx→∞ (2 / e^x) = 0

 

Cuando el límite tiende a -∞.

 

lım x→−∞ [a + ln(1 − x)] = a + ln(∞) = ∞

 

b) Calcular el valor de a, para que f(x) sea continua en todo R.

 

Para que la función sea continua en todo R se debe cumplir que los límites laterales deben ser iguales y además la función evaluada debe ser igual a los límites laterales.

 

lımx→0+ (x^2 * e^–x) = 0

 

lım x→0− [a + ln(1 − x)] = a

 

Evaluando f(0):

 

f(0) = 0^2 * e^–0 = 0

 

Entonces se debe cumplir que:

 

lımx→0+ f(x) = lımx→0- f(x) = f(0)

 

0 = a = 0

 

a = 0 (Para mantener la continuidad)

 

c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ′, donde sea posible.

 

Para que una función sea derivable se debe cumplir su continuidad, por lo tanto a = 0.

 

Ahora se deriva f(x) y se obtiene que:

 

f(x) = {ln(1 − x), si x < 0 , x^2*e^−x , si x ≥ 0}

 

f’(x) = {-1/1-x, si x<0, 2xe^-x – x^2*e^-x, si x ≥ 0}

 

Se evalúan los límites laterales de f’(x).

 

lımx→0+ (-1/1-x) = -1

 

lımx→0- (2xe^-x – x^2*e^-x) = 0

 

Como lımx→0+ f’(x) ≠ lımx→0- f’(x), la función f(x) no es derivable en x = 0.

 

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