Respuestas
Las dimensiones necesarias para que el corral tenga la mayor área posible son: 30 metros en el lado paralelo a la pared de la casa y 15 metros en los laterales.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área del corral.
Llamamos
x longitud del lado paralelo a la pared, en metros
h longitud de los laterales, en metros
La función objetivo viene dada por:
Área = A = xh m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la cantidad (M) de malla disponible (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x.
M = x + 2h = 60⇒h = 260 − x = 30 − 2x
por tanto la función objetivo es
A = x[30 − 2x] = 30x − 2x2
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A′ = 30 − x
A′ = 0⇒30 − x = 0⇒x = 30
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A′′ = −1
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A(30)′′ = −1 < 0⇒x = 30
es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado x en la ecuación de cálculo del lateral h:
h = 30 − 2(30) = 15
Las dimensiones necesarias para que el corral tenga la mayor área posible son: 30 metros en el lado paralelo a la pared de la casa y 15 metros en los laterales.
