Question

determine si las siguientes igualdades son o no identidades:
a) (1 + sen x) (1 - sen x) = $cos^{2} x$
b) cos x + se x tan x = sec x
c) csc x - sen x = cos x cot x
d) $\frac{tan^{2}x + 1 }{tan^{2}x }= csc^{2} x$
e) $cos^{2}x - sen^{2}x = 2cos^{2}x - 1$

Answer 1

$(1 + \sin(x) )(1 - \sin(x) ) = { \cos(x) }^{2} \\ 1 - { \sin(x) }^{2} = { \cos(x) }^{2} \\ { \cos(x) }^{2} = { \cos(x) }^{2}$

$\cos(x) + \sin(x) \tan(x) = \sec(x) \\ \\ \cos(x) + \sin(x) \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } = \sec(x) \\ \\ \cos(x) + \frac{ \sin(x) ^{2} }{ \cos(x) } = \sec(x) \\ \\ \frac{ { \cos(x) }^{2} + { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) } = \sec(x) \\ \\ \frac{1}{ \cos(x) } = \sec(x) \\ \\ \sec(x) = \sec(x)$

$\csc(x) - \sin(x) = \cos(x) \cot(x) \\ \frac{1}{ \sin(x) } - \sin(x) = \cos(x) \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } \\ \\ \frac{1 - { \sin(x) }^{2} }{ \sin(x) } = \frac{ { \cos(x) }^{2} }{ \sin(x) } \\ \\ \frac{ { \cos(x) }^{2} }{ \sin(x) } = \frac{ { \cos(x) }^{2} }{ \sin(x) }$

$\frac{ { \tan(x) }^{2} + 1}{ \tan(x) ^{2} } = \csc(x) ^{2} \\ \\ \frac{ { \sec(x) }^{2} }{ { \tan(x) }^{2} } = { \csc(x) }^{2} \\ \\ \frac{ \frac{1}{ { \cos(x) }^{2} } }{ \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ { \cos(x) }^{2} } } = { \csc(x) }^{2} \\ \\ \frac{ { \cos(x) }^{2} }{ { \sin(x) }^{2} { \cos(x) }^{2} } = { \csc(x ) }^{2} \\ \\ \frac{1}{ { \sin(x) }^{2} } = { \csc(x) }^{2} \\ \\ { \csc(x) }^{2} = { \csc(x) }^{2}$

${ \cos(x) }^{2} - { \sin(x) }^{2} = 2 { \cos(x) }^{2} - 1 \\ \\ { \cos(x) }^{2} - (1 - { \cos(x) }^{2} ) = 2 { \cos(x) }^{2} - 1 \\ \\ { \cos(x) }^{2} - 1 + { \cos(x) }^{2} = 2 { \cos(x) }^{2} - 1 \\ \\ 2 { \cos(x) }^{2} - 1 = 2 { \cos(x) }^{2} - 1$