Question

Necesito encontrar el resultado de este limite trigonométrico por fa:
$\lim_{x \to \00} \frac{x-x cosx}{senx}$

Answer 1

Buenas

Para este ejercicio tendremos que tener en mente el siguiente límite:

$\boxed{ \boxed{\bf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}}=1} }$

Se nos da:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{x-x\cos(x)}{\sin(x)}$

Primero sacamos el factor común del numerador:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{x(1-\cos(x))}{\sin(x)}$

Ahora, la única manera de lograr el límite que mencioné, es dividir a ambas partes entre x, al hacer esto, es como si no hubieras hecho nada, ya que en el numerador tendrías 1/x, y en el denominador 1/x, pero acá está la facilidad del método:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x(1-\cos(x))}{x} }{\dfrac{\sin(x)}{x} }$

Sólo simplificamos el numerador, por lo que x se va, quedando:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos(x)}{\dfrac{\sin(x)}{x} }$

Al tener una división podemos aprovechar las propiedades de los límites, por lo que aplicas límite tanto a numerador y denominador:

$\dfrac{ \lim_{x \to 0} 1-\cos(x) }{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} }$

Usando el límite, nos quedaría evaluar:

$\lim_{x \to 0} 1-\cos(x) \to \textrm{Evaluando}\\ \lim_{x \to 0} 1-\cos(0)\\ \lim_{x \to 0} 1-1\\ \\\mathbb{RESPUESTA}\to 0$