Question

20. Se sabe que los vectores A y B son perpendiculares entre sí. Calcular: Āx B Āri - aj +k y B = 21 + 2] +ak C) 6 A) 3 D) 612 B) 3V2 E) 12​

Answer 1

El módulo del vector resultado del producto vectorial es  6√2.  La opción correcta es la marcada con la letra  D).

Explicación paso a paso:

Para calcular el módulo del vector resultante del producto vectorial es necesario conocer el valor de la constante   a   desconocida en cada vector. Para ello nos apoyamos en la propiedad de los vectores perpendiculares e que su producto escalar es nulo.

Vamos a calcular el producto escalar de los vectores y lo igualamos a cero, resolviendo la ecuación correspondiente en   a:

$\bold{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}~=~[\overrightarrow{i}~-~a\overrightarrow{j}~+~\overrightarrow{k}]\cdot[2\overrightarrow{i}~+~2\overrightarrow{j}~+~a\overrightarrow{k}]\qquad \Rightarrow}$

$\bold{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}~=~[1]\cdot[2] ~+~[-a]\cdot[2] ~+~[1]\cdot[a]~=~2~-~a}$

Igualamos el resultado a cero:

$\bold{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}~=~2~-~a~=~0\qquad\Rightarrow\qquad a~=~2}$

De aquí, los vectores son:

$\bold{\overrightarrow{A}~=~\overrightarrow{i}~-~2\overrightarrow{j}~+~\overrightarrow{k}}$

$\bold{\overrightarrow {B}~=~2\overrightarrow{i}~+~2\overrightarrow{j}~+~2\overrightarrow{k}}$

Ahora si podemos calcular el producto vectorial que tiene como resultado un nuevo vector:

$\bold{\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}~=~\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\ 1&-2&1\\ 2&2&2\end{array}\right|\qquad\Rightarrow}$

$\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=[(\overrightarrow{i})(-2)(2)+(\overrightarrow{j})(1)(2)+(\overrightarrow{k})(1)(2)]-[(\overrightarrow{i})(2)(1)+(\overrightarrow{j})(1)(2)+(\overrightarrow{k})(-2)(2)]\qquad\Rightarrow$

$\bold{\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}~=~-6\overrightarrow{i}~+~6\overrightarrow{k}}$

Calculemos el módulo del vector producto vectorial:

 

$\bold{|\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}|~=~\sqrt{(-6)^{2}~+~(6)^{2}}~=~6\sqrt{2}}$

El módulo del vector resultado del producto vectorial es  6√2.  La opción correcta es la marcada con la letra  D).