Question

Determina la integral de las funciones siguientes: (Nota: Usted debe determinar el método de integración que corresponda en cada caso.)e) ∫_0^1〖xe^(0.5x) 〗 dx

Answer 1

La pregunta es: 
 
                                          $\text{Calcular } \displaystyle \int\limits_{0}^{1}xe^{\frac{1}{2}x}dx$

Solución.

$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{1}xe^{\frac{1}{2}x}dx\\ \\ I=\int\limits_{0}^{1}x\left(e^{\frac{1}{2}x}dx\right)\\ \\ \\ I=\int\limits_{0}^{1}x\cdot d\left(\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)\\ \\ \\ I=\left.\left(x\cdot \dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)\right|_{0}^1-\int\limits_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)\cdot dx\\ \\ \\ I=\dfrac{1}{2}\sqrt{e}-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}e^{\frac{1}{2}x}dx$

$I=\dfrac{1}{2}\sqrt{e}-\dfrac{1}{2}\left.\left(\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}\right)\right|_{0}^{1}\\ \\ \\ I=\dfrac{1}{2}\sqrt{e}-\dfrac{1}{4}\left.\left(e^{\frac{1}{2}\right)\right|_{0}^{1}\\ \\ \\ I=\dfrac{1}{2}\sqrt{e}-\dfrac{1}{4}\left(e-1\right)\\ \\ \\ I=\dfrac{\sqrt{e}}{2}-\dfrac{e}{4}+\dfrac{1}{4}\\ \\ \\ I=\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{e}-e+1\right)$