Question

1.- María está en la ventana de la planta alta de su casa. Enfrente de ella está un edificio a una distancia horizontal de 50 metros. Si ella mira hacia la parte superior del edificio, su línea de visión forma un ángulo de elevación de 50°; pero si mira hacia la parte inferior del edificio, su línea de visión forma un ángulo de depresión de 20º. ¿Cuál es la altura del edificio?​

Answer 1

La altura del edificio es de 77.8 metros        

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Dado que María desde su ventana en la planta alta de su casa observa la parte inferior del edificio de enfrente con un ángulo de depresión de 20° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 50°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD, en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo del observador- a la parte inferior del edificio-, con un ángulo de depresión de 20°, el lado DB que es una porción del edificio vecino y a la vez coincide con la altura de la ventana en donde se ubica María siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo ,- de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al edificio de enfrente y también la distancia horizontal hasta éste, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El triángulo ACD en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima del observador- a la parte superior del edificio-, con un ángulo de elevación de 50°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del edificio -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal hasta el edificio de enfrente

Donde se pide hallar la altura "h" del edificio

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del edificio

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la altura x – una porción de altura del edificio-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 20° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 20^o }$

$\boxed{\bold { tan(20^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(20^o) = \frac{ altura \ x }{distancia \ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =distancia \ al \ edificio \ . \ tan(20^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =50\ metros \ . \ tan(20^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =50\ metros \ . \ 0.36397023466 } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =18.1985117\ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =18.2 \ metros } }$

Luego la altura x es de 18.2 metros

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la altura y – segunda porción de altura del edificio-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 50^o }$

$\boxed{\bold { tan(50^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(50^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia \ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ al \ edificio \ . \ tan(50^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =50\ metros \ . \ tan(50^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =50\ metros \ . \ 1.191753592594 } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =59.5876796\ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =59.6 \ metros } }$

Por tanto la altura y es de 59.6 metros

Hallamos la altura h del edificio de enfrente

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h)= 18.2 \ m+\ 59.6 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h)= 77.8\ metros } }$

La altura del edificio es de 77.8 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto