Question

Sucesión de Narayana
Narayana, matemático hindú del siglo XIV, propuso la siguiente situación:
''Una vaca tiene anualmente una cría. Cada una de ellas, cuando ya es novilla a los cuatro años, también tiene una cría anual''.
De esta forma, el primer año habrá una vaca, el segundo permanece la misma vaca, al igual que el tercero, en el cuarto año ya hay dos vacas, pues la original tiene una cría...
¿Cuántas vacas habrá a los 15 años?

Answer 1

RESOLUCIÓN.

En la resolución de este problema hay que percatarse que se debe trabajar con sucesiones de términos.

Una sucesión numérica es la representación en una expresión algebraica de una serie de términos que en un principio parecen aleatorios.

La sucesión que se estudia en este problema es la sucesión de las vacas de Narayana, esta sucesión explica como se da la sucesión de las vacas.

El principio es el siguiente:

En el primer año hay una vaca, en el segundo año también hay una vaca, en el tercer año también hay una vaca, en el cuarto año hay una vaca y una cría, etc.

La representación de esta sucesión viene dada por:

Xₐ = X₍ₐ ₋ ₁₎ + X₍ₐ ₋ ₃₎

Dónde:

Xₐ es el valor de la sucesión en un término en específico.

X₍ₐ ₋ ₁₎ es el valor del término anterior.

X₍ₐ ₋ ₃₎ es el valor del tercer término anterior al deseado.

Cabe destacar que el término X₀ = 1 y que cualquier término negativo es igual a cero (X₋₁ = 0).

Como ejemplo de esta sucesión se presentarán los primeros 15 términos:

Para a = 1; X1 =1

Para a = 2; X2 = 1

Para a = 3; X3 = 1

Para a = 4; X4 = 2

Para a = 5; X5 = 3

Para a = 6; X6 = 4

Para a = 7; X7 = 6

Para a = 8; X8 = 9

Para a = 9; X9 = 13

Para a = 10; X10 = 19

Para a = 11; X11 = 28

Para a = 12; X12 = 41

Para a = 13; X13 = 60

Para a = 14; X14 = 88

Para a = 15; X15 = 129

A los 15 años habrá un total de 129 vacas.