Question

forma de un puente colgante una seccion de un puente colgante tiene su peso uniformemente distribuido entre torres gemelas que estan a 400 pies entre si y se elevan 90 pies sobre la calzada horizontal. Un cable tendido entre los remates de las torres tiene la forma de una parabola y su punto central esta a 10 pies sobre la calzada,suponga que se introducen ejes de coordenadas. Escriba una ecuacion para la parabola

Answer 1

Aquí en el primer dibujo (izquierda), está el modelo con los datos proporcionados. Las ambas torres a 400pies entre si, osea a 200pies del centro. El centro está a 10pies de la calzada (suelo).

En el segundo dibujo está pasado al plano cartesiano, suponiendo que la calzada o el suelo es el eje x, y el centro esta entonces en la coordenada (0,10). Las torres están a 200 pies del centro y tienen 90 pies de altura, por lo que sus coordenadas son (-200,90) y (200,90).

Ahora tenemos entonces los datos
V(0,10)
P1(-200,90)
P2(200,90)

El V es el vértice de la parábola. Se puede apreciar en el dibujo que es una parábola vertical con concavidad positiva (abre hacia arriba). Asi que su ecuación es:

(x-h)^2 = 4p(y - k)

Y (h,k) son las coordenadas del vértice. V(h,k) ..... V( 0,10)
Asi que sustituimos esos valores en la ecuación.

(x-0)^2=4p(y-10)
x^2 = 4p(y-10)

Para tener la ecuación ya solo falta sacar el valor de p, el cual es la distancia del vértice al foco o a la directriz. Sin embargo no sabemos donde esta el foco ni la recta directriz, pero lo que si conocemos son dos puntos de la parabola asi que sustituimos uno de esos puntos podemos despejar p
P2(X,Y) ... P2 (200,90)

(200)^2 = 4p (90-10)
40000=4p(80)
10000=80p
p= 10000/80 = 1000/8= 125

Ya conociendo este valor lo volvemos a poner en la ecuacion que teniamos antes de sustituir el P2 en la ecuacion.

x^2 = 4 (125) (y-10)
x^2 = 500(y-100)  --------------Esta seria la ecuacion de la parábola en forma canónica

x^2 = 500y - 5000
x^2 -500y +5000=0 ----------Está seria la forma general