Un artista Construye un taller donde el perímetro es de 102m. Él quiere Qué es un taller tenga la mayor superficie posible , con la condición de que las dimensiones del taller en metros sean números naturales.
¿ Cuáles serán las dimensiones de este taller?
¿ Cuál será el área de este taller?
Respuestas
Respuesta:
Las dimensiones son: base= 26m; altura= 25m
El área máxima del taller (en números naturales)
Explicación paso a paso:
Con el dato del perímetro, planteamos la siguiente igualdad:
Simplificamos (dividimos entre dos)
Ecuación 1
Pero tenemos que maximizar el área. Entonces planteamos:
Expresamos en forma de función:
Pero necesitamos trabajar en torno a una sola variable; para eso despejamos "b" de la ecuación 1:
b=51-a
Ahora pasamos a trabajar en torno a la altura y reemplazamos en la fórmula, el valor que despejamos de b:
Ahora derivamos:
Pero, la derivada en los máximos y mínimos debe valer cero. Entonces:
Ahora que sabemos el valor de "a", averiguamos "b", reemplazando en la ecuación 1:
b+25.5m=51m
b=51m-25.5m
b=25.5m
Tenemos los valores de a y b, por tanto el área será:
Pero, el ejercicio nos pide que las dimensiones sean en números naturales y hasta aquí hemos obtenido decimales. (los naturales son 0,1,2,3,4,5...)
Entonces, aproximamos el área a (porque la parte decimal es más cercana a la cifra anterior que a la posterior consecutiva)
Observamos que si a la base la aproximamos a la cifra superior y a la altura la aproximamos a la cifra inferior, tendremos:
b=26m; a=25m