Question

Un artista Construye un taller donde el perímetro es de 102m. Él quiere Qué es un taller tenga la mayor superficie posible , con la condición de que las dimensiones del taller en metros sean números naturales.
¿ Cuáles serán las dimensiones de este taller?
¿ Cuál será el área de este taller?

Answer 1

Respuesta:

Las dimensiones son: base= 26m;  altura= 25m

El área máxima del taller (en números naturales) $650m^{2}$

Explicación paso a paso:

Con el dato del perímetro, planteamos la siguiente igualdad:

$2b+2a=102m$

Simplificamos (dividimos entre dos)

$b+a=51$  Ecuación 1

Pero tenemos que maximizar el área. Entonces planteamos:

$max=b*a$

Expresamos en forma de función:

$f_{(b,a)}=b*a$

Pero necesitamos trabajar en torno a una sola variable; para eso despejamos "b" de la ecuación 1:

b=51-a

Ahora pasamos a trabajar en torno a la altura y reemplazamos en la fórmula, el valor que despejamos de b:

$f_{(a)}=(51-a)*a\\f_{(a)}=51a-a^{2}$

Ahora derivamos:

$f'_{(a)}=51-2a$

Pero, la derivada en los máximos y mínimos debe valer cero. Entonces:

$0=51-2a$

$2a=51\\\\a=\frac{51}{2}=25.5m$

Ahora que sabemos el valor de "a", averiguamos "b", reemplazando en la ecuación 1:

b+25.5m=51m

b=51m-25.5m

b=25.5m

Tenemos los valores de a y b, por tanto el área será:

$A=25.25m*25.25m=650.25m^{2}$

Pero, el ejercicio nos pide que las dimensiones sean en números naturales y hasta aquí hemos obtenido decimales. (los naturales son 0,1,2,3,4,5...)

Entonces, aproximamos el área a $650m^{2}$ (porque la parte decimal es más cercana a la cifra anterior que a la posterior consecutiva)

Observamos que si a la base la aproximamos a la cifra superior y a la altura la aproximamos a la cifra inferior, tendremos:

b=26m;  a=25m

$Area=26m*25m=650m^{2}$