Ejercicio 1B . Calificaciòn màxima: 3 puntos.
Dada la función
f(x) ={ (a + x ln(x), si x > 0 ,
x^2e^x, si x ≤ 0
(donde ln denota logaritmo neperiano y a es un n´umero real) se pide:
a) (1 punto) Calcular el valor de a para que f(x) sea continua en todo R.
b) (1 punto) Calcular f'(x) donde sea posible.
c) (1 punto) Calcular ∫f(x) dx de -1 a 0
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.
Respuestas
a) Calcular el valor de a para que f(x) sea continua en todo R.
En primer lugar hay que calcular los límites laterales al valor X = 0, entonces:
Lím x -> 0 (x^2 * e^x) = 0^2 * e^0 = 0
Lím x -> 0 [a + x ln(x)] = a + 0*∞ = 0*∞ (Indeterminado)
Lím x -> 0 a + Lím x -> 0 [x ln(x)] = a + Lím x -> 0 [ln(x) / (1/x)] = ∞/∞
Se aplica L’Hopital en este punto para resolver la indeterminación:
a + Lím x -> 0+ [(1/x) / (-1/x^2)] = a + Lím x -> 0+ (-x) = a + 0 = a
Se evalúa la función cuando x = 0:
f(0) = 0^2 * e^0 = 0
Para que a le pueda dar continuidad a f(x), esta debe ser igual tanto por la derecha como por la izquierda, por lo tanto:
a = 0
b) Calcular f'(x) donde sea posible.
Se derivan las funciones:
f’(x) = { (ln(x) + 1), si x > 0 , (2xe^x + x^2 e^x), si x ≤ 0}
Se obtienen los dominios de f’(x):
Para x > 0, el dominio es (0, ∞)
Para x ≤ 0, el dominio son todos los reales.
Ahora se evalúa la derivada en x = 0
ln (0) + 1 = ∞
2*0*e^0 + 0^2*e^x = 0
La función f(x) es derivable en el intervalo (-∞, 0) u (0, +∞).
c) Calcular ∫f(x) dx de -1 a 0
La f(x) = x^2*e^x es la que se tiene que integrar:
∫ x^2*e^x dx
Se tiene que:
u = x^2
du = 2xdx
dv = e^x dx
v = e^x
Sustituyendo los valores:
x^2*e^x - ∫e^x * 2xdx
Se aplica de nuevo el procedimiento:
u = x
du = dx
dv = e^x dx
v = e^x
Se sustituye:
x^2*e^x - x*e^x + ∫e^x dx
x^2*e^x - x*e^x + e^x
Se evalúa:
0^2*e^0 - 0*e^0 + e^0 – (-1^2*e^-1 + 1*e^-1 + e^-1) = - 0,104
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.