Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
a) (0'5 puntos) Estudiar el crecimiento de la función f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3
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b) (1'5 puntos) Demostrar que la ecuaciòn 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 = 0 tiene una única solución real y
localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.
Respuestas
a) Estudiar el crecimiento de la función f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3.
Para estudiar el crecimiento de la función f(x), hay que estudiar su derivada, en cuyo caso cuando f’(x) > 0 entonces la función crece para el intervalo de estudio.
Se procede entonces a encontrar la derivada de f(x):
f’(x) = (1)’ + (2x)’ + (3x^2)’ + (4X^3)’ = 0 + 2 + 6x + 12x^2
f’(x) = 2 + 6x + 12x^2
Como el término cuadrático es positivo, se concluye que es una parábola cóncava.
Para determinar su vértice se tiene que:
X = - 6 / (2*12) = - 1 /4
Y = 2 + 6(-1/4) + 12(-1/4)^2 = 1,25
La ecuación de f’(x) es una parábola cóncava y cuyo vértice se encuentra en (-1/4, 5/4).
Con esto es posible concluir que como el mínimo de f’(x) > 0 en todo el campo de los números reales, eso quiere decir que f(x) crece para todo su dominio.
b) Demostrar que la ecuación 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 = 0 tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.
Para demostrar que f(x) solo tiene una raíz real, se toma el intervalo de estudio [-1, 0] que tiene de longitud 1.
Se evalúa la función en los extremos del intervalo:
f(-1) = 1 + 2(-1) + 3(-1)^2 + 4(-1)^3 = -2
f(0) = 1 + 2(0) + 3(0)^2 + 4(0)^3 = 1
Como existe un cambio en el signo del intervalo se puede concluir que hay al menos una raíz real para este intervalo.
Ahora se deriva la función y se iguala a cero para determinar los posibles valores de X donde exista un f(x) = 0.
f’(x) = 12X^2 + 6X + 2 = 0
X no tiene raíces reales para f’(x) por lo tanto se concluye que f(x) solo tiene una raíz real en el intervalo [-1, 0].
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.