Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las matrices: A = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ), B = ( 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ) , se pide:
a) (1 punto) Calcular A15 y A20.
b) (1 punto) Resolver la ecuación matricial 6X = B − 3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Muchas gracias

Answer 1

Esta es la solución al ejercicio 3 de la prueba de selectividad de Madrid convocatoria JUN 2014  - 2015 de Matematica II:

Dadas las siguientes matrices:

A = $\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right]$

B = $\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}\right]$

a) Observamos que la matriz A es diagonal. Para calcular A¹⁵ y A²⁰, 

A² = A.A = I     ⇒    Aⁿ = A si n es impar / I si n es par

Donde I es la matriz diagonal $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

∴ A¹⁵ = A  y  A²⁰ = I

b) Para resolver la ecuación matricial: 6X = B - 3AX, comenzamos despejando:

B = 6X - 3AX = (6I + 3A)X
X = (6I + 3A)⁻¹.B

Realizamos primero la operación de suma de matrices,

6I + 3A = C = $\left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6&0&3\\0&9&0\\3&0&6\end{array}\right]$

Invertimos la matriz resultante, para esto necesitamos usar el método de Gauss - Jordan:

C⁻¹ = $\left[\begin{array}{ccc}6&0&3\\0&9&0\\3&0&6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

C⁻¹ = $\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{9} &0& \frac{-1}{9} \\0& \frac{1}{9} &0\\ \frac{-1}{9} &0& \frac{2}{9} \end{array}\right]$

Finalmente:

X = C⁻¹. B = $\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{9} &0& \frac{-1}{9} \\0& \frac{1}{9} &0\\ \frac{-1}{9} &0& \frac{2}{9} \end{array}\right]$. $\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}\right]$

X = $\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} &0& \frac{-1}{3} \\0& \frac{1}{3} &0\\ \frac{-1}{3} &0& \frac{2}{3} \end{array}\right]$