Ejercicio 2 . Calificacion maxima: 3 puntos. a) (2 puntos) Discutir, seg´un los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente: {4x + 3y + (m − 1)z = 0 x − 2y + mz = 1 5x + my + z = 1. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Por favor
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Respuesta dada por:
1
Esta es la solución del ejercicio 2 inciso a) de la Prueba de selectividad Madrid Convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II :
En base al sistema de ecuaciones siguiente
![\left \{ {{4x + 3y + (m+1)z = 0} \atop {x - 2y + mz = 1}} \atop {5x + my + z = 1}} \right \left \{ {{4x + 3y + (m+1)z = 0} \atop {x - 2y + mz = 1}} \atop {5x + my + z = 1}} \right](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B4x+%2B+3y+%2B+%28m%2B1%29z+%3D+0%7D+%5Catop+%7Bx+-+2y+%2B+mz+%3D+1%7D%7D+%5Catop+%7B5x+%2B+my+%2B+z+%3D+1%7D%7D+%5Cright)
Analizamos cuales son los valores que puede tomar m para satisfacer el sistema de ecuaciones
_
A =
_
A =![-3m^{2} +24m-21 = 0 -3m^{2} +24m-21 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=-3m%5E%7B2%7D+%2B24m-21+%3D+0+)
Calculando las raíces de la ecuación de segundo grado obtenemos que:
m = 1 y m = 7
En caso de tomar m≠1 y m≠7, el determinante de la matriz |A| ≠ 0,
_
y el Rango(A) = 3 = Rango(A), correspondiendo al equivalente de la cantidad de incógnitas que tiene el sistema, por lo que podemos concluir que este sería un sistema determinado.
Si tomamos m = 7:
_
A =![\left[\begin{array}{ccc}4&3&6\\1&-2&7\\5&7&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4&3&6\\1&-2&7\\5&7&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B3%26amp%3B6%5C%5C1%26amp%3B-2%26amp%3B7%5C%5C5%26amp%3B7%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D0%26amp%3B1%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
El determinante |A| = 0
= -11 ≠ 0
∴ Rango(A) = 2
Luego,
= -24 ≠ 0.
__
Por lo que Rango(A) = 3.
Al observar este caso es notorio que el sistema de ecuaciones es incompatible.
Si tomamos m = 1,
![\left[\begin{array}{ccc}4&3&0\\1&-2&1\\5&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4&3&0\\1&-2&1\\5&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B3%26amp%3B0%5C%5C1%26amp%3B-2%26amp%3B1%5C%5C5%26amp%3B1%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D0%26amp%3B1%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Al calcular el determinante |A| = 0.
![\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&-2\end{array}\right] = -11 \left[\begin{array}{cc}4&3\\1&-2\end{array}\right] = -11](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D4%26amp%3B3%5C%5C1%26amp%3B-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D+-11)
∴ Rango (A) = 2.
Notamos que la Fila tres (F3) de la matriz para este caso es igual a la suma de las filas uno (F1) y dos (F2) (F3 = F1 + F2).
__
Esto hace que Rango(A) = 2, por lo tanto el sistema es considerado compatible pero indeterminado.
En base al sistema de ecuaciones siguiente
Analizamos cuales son los valores que puede tomar m para satisfacer el sistema de ecuaciones
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A =
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A =
Calculando las raíces de la ecuación de segundo grado obtenemos que:
m = 1 y m = 7
En caso de tomar m≠1 y m≠7, el determinante de la matriz |A| ≠ 0,
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y el Rango(A) = 3 = Rango(A), correspondiendo al equivalente de la cantidad de incógnitas que tiene el sistema, por lo que podemos concluir que este sería un sistema determinado.
Si tomamos m = 7:
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A =
El determinante |A| = 0
∴ Rango(A) = 2
Luego,
__
Por lo que Rango(A) = 3.
Al observar este caso es notorio que el sistema de ecuaciones es incompatible.
Si tomamos m = 1,
Al calcular el determinante |A| = 0.
∴ Rango (A) = 2.
Notamos que la Fila tres (F3) de la matriz para este caso es igual a la suma de las filas uno (F1) y dos (F2) (F3 = F1 + F2).
__
Esto hace que Rango(A) = 2, por lo tanto el sistema es considerado compatible pero indeterminado.
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