Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función f(x) = x x 2 − 4 + ln(x + 1) x + 1 , donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide:
a) (105 puntos) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
b) (0075 puntos) Calcular la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 0.
c) (0075 puntos) Calcular Z f(x) dx.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II

Muchas gracias

Answer 1

Esta es la solución al ejercicio 1 de la Prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II :

$f(x) = \frac{x}{ x^{2} -4} + \frac{ln(x+1)}{x+1}$ 

a) Determinamos cual es el dominio de f(x) y sus asíntotas

Tomando en consideración $\frac{x}{ x^{2} -4}$, para que la función pueda existir x ≠ +/- 2.

Luego, partiendo de $\frac{ln(x+1)}{x+1}$, para la función logaritmo neperiano x > -1.

Por lo que el Dom(f) = (-1,2) ∪ (2,∞)

Asíntotas Verticales

- Para x = - 2 no existen asíntotas verticales ya que este no es parte del dominio de f(x).

- Para x = 2 calculamos los siguientes limites:

$\lim_{x \to \ 2^{-} } f(x}) =$ -∞

$\lim_{x \to \ 2^{+} } f(x}) =$ +∞

- Para x = -1 calculamos los siguientes limites: 

$\lim_{x \to \ -1^{-} } f(x}) =$ No existe

$\lim_{x \to \ -1^{+} } f(x}) =$ -∞

Asíntotas Horizontales

- Para y = 0, realizamos el calculo del limite

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

Asíntotas Oblicuas: 

No existen asíntotas oblicuas para f(x), debido a que ya existen asíntotas horizontales.

b) Para el calculo de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 0, se debe calcular la derivada de la función f(x) y luego evaluarla en el punto. 

$f'(x) = -\frac{ x^{2} +4}{ ( x^{2} - 4)^{2} } + \frac{1-ln(x+1)}{ (x+1)^{2} }$

Evaluamos primero la función original f(x) en el punto x = 0

f(0) = $\frac{0}{ 0^{2} -4} + \frac{ln(0+1)}{0+1} = 0$

Luego, evaluamos la derivada f'(x) en el punto x = 0

$f'(0) = -\frac{ 0^{2} +4}{ ( 0^{2} - 4)^{2} } + \frac{1-ln(0+1)}{ (0+1)^{2} } = -\frac{4}{16} + 1 = \frac{3}{4}$

∴ y = $\frac{3}{4}x$, siendo está la recta tangente a f(x)

c) Para calcular la integral de f(x)

$\int\ {\frac{x}{ x^{2} -4} + \frac{ln(x+1)}{x+1} } \, dx = \int\ {\frac{x}{ x^{2} -4}} \, dx + \int\ {\frac{ln(x+1)}{x+1} } \, dx$

= $\frac{1}{2} ln| x^{2} -4| + \frac{ (ln(x+1))^{2} }{2} + C$

Donde C simboliza cualquier constante.