Question

I.- Demuestre que el siguientes sistemas numéricos son campos y por que?:
El conjunto de los reales, ℝ.
El conjunto de los racionales, ℚ.
El conjunto de los complejos, ℂ.

Answer 1

R es un campo, puesto que para cualesquiera números reales a,b

a+b = b + a
ab = ba
conmutatividad

(a+b)+c = a+(b+c)
(ab)c = a(bc)
asociatividad

a(b+c) = ab + ac
Distributividad de la multiplicacion sobre la suma

a - a = 0, Existencia del inverso aditivo.
Si a != 0
a(1/a) = 1, Existencia del inverso multiplicativo.

a + 0 = a , Existencia del elemento neutro en la suma
a*1 = a , Existencia del elemento neutro en la multiplicación.

Q es un campo, puesto Q está contenido en R, y R es un campo por lo tanto Q es un campo

C es un campo pero las evaluaciones no son tan sencillas, dependiendo de lo que te soliciten como desmotración se te dificultará la demostración, no obstante C puedes verlo como V2 y demostrar la mayoría de requisitos. Dejando sólo la existencia del inverso multiplicativo y la distributividad del producto sobre la suma.