Question

resolver los siguientes limites

Answer 1

El límite en la situación A es $-\frac{1}{2}$, en la situación B el límite no existe, y en C y D el límite es 0.

Explicación paso a paso:

a) En el primer punto tenemos que eliminar la indeterminación tipo cero sobre cero factorizando los dos polinomios, en el numerador sacamos factor común de 2x y en el denominador aplicamos diferencia de cuadrados:

$\lim_{x \to2} \frac{2x-x^2}{x^2-4}= \lim_{x \to2} \frac{x(2-x)}{(x+2)(x-2)}=\lim_{x \to2} \frac{-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\lim_{x \to2} \frac{-x}{(x+2)}=-\frac{1}{2}$

b) En este límite tenemos:

$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+1-2}}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}=\frac{\sqrt{2}}{0}=\infty$

Con lo cual el límite no existe.

c) En esta caso dividimos por una potencia de x numerador y denominador para eliminar la indeterminación tipo cero sobre cero:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^3+3x^2-4}= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+3\frac{x^2}{x^3}-\frac{4}{x^3}}\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{1+3\frac{1}{x}-\frac{4}{x^3}}=0$

d) En este caso podemos multiplicar y dividir por $\sqrt{5+x}-2$ y en el denominador queda una diferencia de cuadrados:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2+x}{\sqrt{5+x}-2} \frac{\sqrt{5+x}+2}{\sqrt{5+x}+2}\\\\ \lim_{x \to -1} \frac{(x^2+x)(\sqrt{5+x}+2)}{5+x-4}=\lim_{x \to -1} \frac{x(x+1)(\sqrt{5+x}+2)}{x+1}=\\\\=\lim_{x \to -1} x(\sqrt{5+x}+2)=0$