Question

Marcos necesita que le ayudes a calcular el tamaño de la tapa, con eso podrá elaborar una caja adecuada para el regalo. Él recuerda que su cliente utilizó de ejemplo una tapa cuadrada que ya tenía en la tienda y le dijo que la nueva tapa debía medir 8 cm más de largo y 7 cm más de ancho, ambos de la tapa cuadrada; además el área de la tapa que quiere es de 90 cm2.

a) Diseña la ecuación, a partir de los datos que tiene Marcos sobre las medidas de la tapa.

b) Resuelve la ecuación y obtén los dos resultados utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

c) Escoge uno de los resultados que se obtienen y responde las siguientes preguntas:

- ¿Por qué escogiste ese resultado?

- ¿Cuánto mide cada lado de la tapa nueva?

Answer 1

La nueva tapa rectangular  tiene  10  cm  de largo por  9  cm  de ancho.

Explicación paso a paso:

a) Diseña la ecuación, a partir de los datos que tiene Marcos sobre las medidas de la tapa.

Vamos a llamar    x    a la medida, en cm, del lado de la tapa cuadrada. Entonces las medidas de la nueva tapa rectangular serán:

Largo  =  x  +  8  cm

Ancho  =  x  +  7  cm

La ecuación se obtiene a partir de la fórmula del área de un cuadrado

Área  =  Largo × Ancho                  sabiendo que  el área es de  90  cm²

(x  +  8)(x  +  7)  =  90        se resuelve el producto y se iguala a cero

x²  +  7x  +  8x  +  56  -  90  =  0        ⇒

x²  +  15x  -  34  =  0

b) Resuelve la ecuación y obtén los dos resultados utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

La fórmula general para las ecuaciones cuadráticas para una ecuación de la forma        ax²  +  bx  +  c       es:

$\bold{x~=~\dfrac{-b~\pm~\sqrt{b^2~-~4ac}}{2a}}$

En el caso estudio:                a  =  1                b  =  15                c  =  -34

$\bold{x~=~\dfrac{-(15)~\pm~\sqrt{(15)^2~-~4(1)(-34)}}{2(1)}~=~\dfrac{-15~\pm~\sqrt{361}}{2}~=~\dfrac{-15~\pm~19}{2}}$

De aquí        x  =  2          o           x  =  -17

c) Escoge uno de los resultados que se obtienen y responde las siguientes preguntas:

Escogemos el valor   x  =  2

- ¿Por qué escogiste ese resultado?

La ecuación tiene un resultado positivo y uno negativo, pero  x  fue definida como la longitud del lado de la tapa cuadrada y, por ende, debe ser positiva, ya que las distancias no se miden con números negativos.

Por ello se escoge el valor de  x  que tiene signo positivo como la solución apropiada de nuestra ecuación.

- ¿Cuánto mide cada lado de la tapa nueva?

Ya que  x  =  2,

Largo de la nueva tapa  =  x  +  8  =  2  +  8  =  10  cm

Ancho de la nueva tapa  =  x  +  7  =  2  +  7  =  9  cm

La nueva tapa rectangular  tiene  10  cm  de largo por  9  cm  de ancho.

Answer 2

Explicación paso a paso:

Marcos necesita que le ayudes a calcular el tamaño de la tapa, con eso podrá elaborar una caja adecuada para el regalo. Él recuerda que su cliente utilizó de ejemplo una tapa cuadrada que ya tenía en la tienda y le dijo que la nueva tapa debía medir 8 cm más de largo y 7 cm más de ancho, ambos de la tapa cuadrada; además el área de la tapa que quiere es de 90 cm².

a) Diseña la ecuación, a partir de los datos que tiene Marcos sobre las medidas de la tapa.

Datos:

Largo = x + 8

Ancho =  x + 7

Hallamos la ecuación a partir de los datos que tiene Marcos:

A = (Largo) × (Ancho)

90 = (x  + 8) × (x +  7)

90 = (x)(x) + (x)(7) + (8)(x) + (8)(7)

90 = x²+7x+8x+56

90 = x²  + 15x + 56

0 = x² + 15x + 56 - 90

0 =  x² + 15x - 34

x² + 15x - 34 = 0

La ecuación a partir de los datos que tiene Marcos es x² + 15x - 34 = 0

b) Resuelve la ecuación y obtén los dos resultados utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

Ecuación:      

x² + 15x - 34 = 0

     

Donde:      

a = 1    

b = 15    

c = -34    

     

Desarrollamos:      

$x_{1,\:2}=\frac{-\left(15\right)\pm \sqrt{\left(15\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:-34}}{2\cdot \:1} \\\\ x_{1,\:2}=\frac{-15\pm \sqrt{225+136}}{2} \\\\ x_{1,\:2}=\frac{-15\pm \sqrt{361}}{2} \\\\ x_{1,\:2}=\frac{-15\pm19}{2}$    

     

Separar las soluciones:      

$x_1=\frac{-15+19}{2},\:x_2=\frac{-15-19}{2} \\\\ x_1=\frac{4}{2},\:x_2=\frac{-34}{2} \\\\ x_1=2,\:x_2=-17$      

     

Por lo tanto, la solución de la ecuación es x₁ = 2 , x₂ = -17    

c) Escoge uno de los resultados que se obtienen y responde las siguientes preguntas:

x = 2

- ¿Por qué escogiste ese resultado?

Por qué haciendo las comprobaciones de lado por altura da el resultado de centímetros cuadrados de la tapa que solicito el cliente

- ¿Cuánto mide cada lado de la tapa nueva?

Largo = x + 8 = 2 + 8 = 10

Ancho =  x + 7 = 2+ 7 = 9

La tapa nueva mide 10 cm de largo y 9 cm de ancho