En una academia de idiomas hay 116 alumnos que estudian inglés, 70 alemán y 80 francés. Si el total de alumnos es 152 y 20 de ellos estudian en los 3 idiomas ¿Cuántos estudian exactamente 2 idiomas?.
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carbajalhelen
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El número de alumnos que estudian dos idiomas:
39 alumnos
El número de alumnos que estudian otros idiomas:
27 alumnos
Explicación paso a paso:
Datos;
140 alumnos de un centro de idiomas
62 estudian inglés
52 estudian francés
54 estudian alemán
18 estudian inglés y francés
20 estudian francés y alemán
17 estudian solo alemán
8 estudian los tres idiomas
Aplicar teoría de conjuntos:
U = 140
I ∪ (I∩F) ∪ (I∩A) ∪ (I∩F∩A) = 62
F ∪ (I∩F) ∪ (F∩A) ∪ (I∩F∩A) = 52
A ∪ (A∩F) ∪ (I∩A) ∪ (I∩F∩A) = 54
I∩F ∪ (I∩F∩A) = 18
F∩A ∪ (I∩F∩A) = 20
A = 17
I∩F∩A = 8
I∩F = 18 - 8
I∩F = 10
F∩A = 20 - 8
F∩A = 12
F = 52 - 10-12-8
F = 22
I∩A ∪ (I∩F∩A) = 54 - 17-12-8
I∩A = 17
I = 62 -10-8-17
I = 27
¿cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas de los mencionados?
(I∩F) ∪ (I∩A) ∪ (F∩A) = 10 + 17 + 12
(I∩F) ∪ (I∩A) ∪ (F∩A) = 39
¿cuántos alumnos estudian otros idiomas?
U = I ∪ F ∪ A ∪ (I∩F) ∪ (I∩A) ∪ (F∩A) ∪ (I∩F∩A) ∪ (I∅F∅A) = 140
Despejar (I∅F∅A);
I∅F∅A = 140 - 27 - 22 -17 -10-17-12-8
I∅F∅A = 27
Explicación paso a paso:
coronita plisssss
La cantidad de estudiantes que estudian solo 2 idiomas es:
74
¿Qué es la teoría de conjuntos?
Es la representación de las posibles relaciones que existen entre varios conjuntos. Y por medio del diagrama de Venn, que es la representación gráfica de la teoría de conjuntos, se puede obtener dicha relación.
Operaciones entre conjuntos:
- A U B: la unión de A con B, son los elementos de A más los elementos de B.
- A ∩ B: la intersección de A con B son los elementos que compartes ambos conjuntos.
- A - C: la diferencia de conjuntos son los valores de A que no comparta con C.
- ∅: conjunto nulo, son elementos que no pertenecen al subconjunto, pero son parte del universo.
- U: universo contiene todos los subconjuntos.
¿Cuántos estudian exactamente 2 idiomas?
Definir;
- U: universo (152 alumnos)
- I: inglés
- A: alemán
- F: francés
Aplicar teoría de conjuntos;
- U = I + A + F + (I ∩ A) + (I ∩ F) + (A ∩ F) + (I ∩ A ∩ F)
- I + (I ∩ F) + (I ∩ A) + (I ∩ A ∩ F) = 116
- A + (I ∩ A) + (A ∩ F) + (I ∩ A ∩ F) = 70
- F + (I ∩ F) + (A ∩ F) + (I ∩ A ∩ F) = 80
- (I ∩ A ∩ F) = 20
Sustituir 5 en 2, 3 y 4;
I + (I ∩ A) + (A ∩ F) + 20 = 116
Despejar I;
I = 96 - (I ∩ A) - (I ∩ F)
A + (I ∩ A) + (A ∩ F) + 20 = 70
Despejar A;
A = 50 - (I ∩ A) - (A ∩ F)
F + (I ∩ F) + (A ∩ F) + 20 = 80
Despejar F;
F = 60 - (I ∩ F) - (A ∩ F)
Sustituir I, A y F en 1;
152 = 96 - (I ∩ A) - (I ∩ F) + 50 - (I ∩ A) - (A ∩ F) + 60 - (I ∩ F) - (A ∩ F) + (I ∩ A) + (I ∩ F) + (A ∩ F) + 20
152 = 226 - (I ∩ A) - (I ∩ F) - (A ∩ F)
Despejar;
(I ∩ A) + (I ∩ F) + (A ∩ F) = 226 - 152
(I ∩ A) + (I ∩ F) + (A ∩ F) = 74
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