Si un objeto realiza dos movimientos definidos bajo las funciones: f (x)=raz de (x^2-4) g (x)=x^2-4/X calcula: f (x)-g (x) f (x)*g (x) (f○g)(x) (g○f)(x)
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Respuesta dada por:
102
Hola!
Lo que solicitas en el ejercicios son operaciones con funciones, entonces empecemos:
Tomando las funciones:
f(x) = √(x^2 - 4)
g(x) = x^2 - 4/x
La primera operacion que nos solicitan es una resta, para ello tenemos la siguiente condicion:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
si --> Dom ( f - g )(x) = Dom f(x) ∩ Dom g(x)
Entonces debemos obtener los dominios de las funciones, para luego obtener el dominio de la funcion ( f - g )(x)
f(x) = √(x^2 - 4)
Esta funcion tiene una raiz por lo que debemos poner la condicion que lo que esta dentro de la raiz no sea menor que cero para que la funcion exista, entonces:
x^2 - 4 ≥ 0
x^2 ≥ 4
x ≥ +/- 2
Entonces el dominio de la funcion queda definido en el intervalo de:
Dom f(x) = x € (- ∞ ; - 2] ∪ [ 2 ; ∞)
g(x) = x^2 - 4/x
esta es una funcion racional porque hay un denominador y en ese denominador esta la variable "x" por lo que devemos asegurarnos que el denominador no sea cero para que la funcion exista en los numeros reales, ponemos la siguiente condicion:
x ≠ 0
entonces obtenemos el dominio de la funcion que sera:
Dom g(x) = x € R - { 0 }
Ahora que tenemos los Dominios de cada funcion realizamos la operacion solicitada:
( f - g )(x) = √(x^2 - 4) - x^2 - 4 / x
El dominio queda definio por:
Dom (f - g)(x) = x € (- ∞ ; - 2] ∪ [ 2 ; ∞)
Ahora la segunda operacion:
f(x) × g(x) = ( f × g )(x)
si --> Dom ( f × g )(x) = Dom f(x) ∩ Dom g(x)
Como ya sacamos los dominios de las funciones anterior mente solo realizamos la operacion:
f(x) × g(x) = ( √(x^2 - 4) ) × ( x^2 - 4 / x )
f(x) × g(x) = √(x^2 - 4)^3 / x
El dominio de esta funcion queda definido por:
Dom (f × g)(x) = x € (- ∞ ; - 2] ∪ [ 2 ; ∞)
Nos damos cuenta que el dominio es el mismo que el de ( f - g )(x) y eso es porque en los dos casos el dominio se obtiene intersecando el dominio de f(x) con el dominio de g(x) para las operaciones de suma, resta, y multiplicacion de funciones.
Finalmente lo siguiente que nos solicitan es composicion de funciones.
Para hallar las funciones (f o g)(x) y (g o f)(x) que no son lo mismo porque en esta operacion no hay propiedad conmutativa, debemos tomar en cuenta las siguientes condiciones:
Dom ( g ○ f )(x) = { x/x ∈ Dom f ∧ f(x) ∈ Dom g } ; Rgo f ⊆ Dom g
Dom ( f ○ g )(x) = { x/x ∈ Dom g ∧g(x) ∈ Dom f } ; Rgo g ⊆ Dom f
Tambien para que una funcion compuesta exista debe cumplirse que:
( f ○ g )(x) --> Existe si solo si --> Rango g ∩ Dom f ≠ ∅
( g ○ f )(x) --> Existe si solo si --> Rgo f ∩ Dom g ≠ ∅
Bueno teniendo en cuenta todo esto realizamos la primera operacion compuesta:
( f ○ g )(x) = f [ g(x) ]
esto quiere decir que en f(x) vamos a reemplazar g(x) en cada valor de "x" :
f[g(x)] = √[(x^2 - 4 / x )^2 - 4 ]
Realizando operaciones:
(f ○ g )(x) = √[(x^2 - 8x^2 - 16) / x^2) - 4]
El dominio que definido tomando en cuenta las reglas antes mencionadas, de a siguiente forma:
Dom (f ○ g)(x) = x € ( - ∞ ; - 1 - √5 ] ∪ [ - 1 - √5 ; 0 ) ∪ ( 0 ; √(5) - 1 ] ∪ [ 1 + √5 ; ∞ ]
Ahora hallaremos
(g ○ f)(x) = g[f(x)]
g[f(x)] = ( √x^2 - 4 )^2 - 4 / ( √x^2 - 4 )
Realizando operaciones:
( g ○ f )(x) = x^2 - 8 / √(x^2 - 4)
El dominio que definido tomando en cuenta las reglas antes mencionadas, de a siguiente forma:
Dom ( g ○ f )(x) = x € ( - ∞ ; - 2) ∪ ( 2 ; ∞ )
tambien se podria poner de la siguiente manera:
Dom ( g ○ f )(x) = x € R - { -2 ; 2 }
Eso seria todo, espero haberte ayudado y en todo caso es solo estudiar un poco de teoria.
Saludos y suerte!
Lo que solicitas en el ejercicios son operaciones con funciones, entonces empecemos:
Tomando las funciones:
f(x) = √(x^2 - 4)
g(x) = x^2 - 4/x
La primera operacion que nos solicitan es una resta, para ello tenemos la siguiente condicion:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
si --> Dom ( f - g )(x) = Dom f(x) ∩ Dom g(x)
Entonces debemos obtener los dominios de las funciones, para luego obtener el dominio de la funcion ( f - g )(x)
f(x) = √(x^2 - 4)
Esta funcion tiene una raiz por lo que debemos poner la condicion que lo que esta dentro de la raiz no sea menor que cero para que la funcion exista, entonces:
x^2 - 4 ≥ 0
x^2 ≥ 4
x ≥ +/- 2
Entonces el dominio de la funcion queda definido en el intervalo de:
Dom f(x) = x € (- ∞ ; - 2] ∪ [ 2 ; ∞)
g(x) = x^2 - 4/x
esta es una funcion racional porque hay un denominador y en ese denominador esta la variable "x" por lo que devemos asegurarnos que el denominador no sea cero para que la funcion exista en los numeros reales, ponemos la siguiente condicion:
x ≠ 0
entonces obtenemos el dominio de la funcion que sera:
Dom g(x) = x € R - { 0 }
Ahora que tenemos los Dominios de cada funcion realizamos la operacion solicitada:
( f - g )(x) = √(x^2 - 4) - x^2 - 4 / x
El dominio queda definio por:
Dom (f - g)(x) = x € (- ∞ ; - 2] ∪ [ 2 ; ∞)
Ahora la segunda operacion:
f(x) × g(x) = ( f × g )(x)
si --> Dom ( f × g )(x) = Dom f(x) ∩ Dom g(x)
Como ya sacamos los dominios de las funciones anterior mente solo realizamos la operacion:
f(x) × g(x) = ( √(x^2 - 4) ) × ( x^2 - 4 / x )
f(x) × g(x) = √(x^2 - 4)^3 / x
El dominio de esta funcion queda definido por:
Dom (f × g)(x) = x € (- ∞ ; - 2] ∪ [ 2 ; ∞)
Nos damos cuenta que el dominio es el mismo que el de ( f - g )(x) y eso es porque en los dos casos el dominio se obtiene intersecando el dominio de f(x) con el dominio de g(x) para las operaciones de suma, resta, y multiplicacion de funciones.
Finalmente lo siguiente que nos solicitan es composicion de funciones.
Para hallar las funciones (f o g)(x) y (g o f)(x) que no son lo mismo porque en esta operacion no hay propiedad conmutativa, debemos tomar en cuenta las siguientes condiciones:
Dom ( g ○ f )(x) = { x/x ∈ Dom f ∧ f(x) ∈ Dom g } ; Rgo f ⊆ Dom g
Dom ( f ○ g )(x) = { x/x ∈ Dom g ∧g(x) ∈ Dom f } ; Rgo g ⊆ Dom f
Tambien para que una funcion compuesta exista debe cumplirse que:
( f ○ g )(x) --> Existe si solo si --> Rango g ∩ Dom f ≠ ∅
( g ○ f )(x) --> Existe si solo si --> Rgo f ∩ Dom g ≠ ∅
Bueno teniendo en cuenta todo esto realizamos la primera operacion compuesta:
( f ○ g )(x) = f [ g(x) ]
esto quiere decir que en f(x) vamos a reemplazar g(x) en cada valor de "x" :
f[g(x)] = √[(x^2 - 4 / x )^2 - 4 ]
Realizando operaciones:
(f ○ g )(x) = √[(x^2 - 8x^2 - 16) / x^2) - 4]
El dominio que definido tomando en cuenta las reglas antes mencionadas, de a siguiente forma:
Dom (f ○ g)(x) = x € ( - ∞ ; - 1 - √5 ] ∪ [ - 1 - √5 ; 0 ) ∪ ( 0 ; √(5) - 1 ] ∪ [ 1 + √5 ; ∞ ]
Ahora hallaremos
(g ○ f)(x) = g[f(x)]
g[f(x)] = ( √x^2 - 4 )^2 - 4 / ( √x^2 - 4 )
Realizando operaciones:
( g ○ f )(x) = x^2 - 8 / √(x^2 - 4)
El dominio que definido tomando en cuenta las reglas antes mencionadas, de a siguiente forma:
Dom ( g ○ f )(x) = x € ( - ∞ ; - 2) ∪ ( 2 ; ∞ )
tambien se podria poner de la siguiente manera:
Dom ( g ○ f )(x) = x € R - { -2 ; 2 }
Eso seria todo, espero haberte ayudado y en todo caso es solo estudiar un poco de teoria.
Saludos y suerte!
Respuesta dada por:
36
Respuesta:
Operaciones de funciones.
Explicación paso a paso:
Para resolver el ejercicio se procede a realizar las operaciones resta , producto y compuesta de f(x ) y g(x) de la siguiente manera :
f(x ) = √( x²- 4 ) g(x) = x² - 4/x
f( x) - g(x) = √(x²-4 ) - (x²-4/x )
f(x) * g(x) = √(x²-4 ) * ( x²-4/x )
( fog )(x) = f( g(x)) = f( x²-4/x ) = √((x²-4/x)²-4 )
( gof)(x) = g(f(x)) = g( √(x²-4) ) =( √ x²-4 )²-4/x = x²-8/x
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