la suma de los primeros 21 términos de una progresión aritmética es 420. el décimo noveno término es 4 veces el tercer término. encontrar el primer término , ayuda porfa
Respuestas
an = Ultimo termino de la progresión
a₁ = Primer termino
d = diferencia.
n = Número de treminos de la progresión = 21
S = 420
a₁₉ = 4(a₃)
Formulas.
an = a₁ + (n - 1) * d
S = (a₁ + an)* n /2 S = Suma de todos los terminos de la progresión
De:
S₂₁ = (a₁ + an)* n /2
420 = (a₁ + an) * 21/2
420*2 = (a₁ + an) * 21
840/21 = a₁ + an
40 = a₁ + an Pero an = a₁ + (n- 1) *d reemplazas
40 = a₁ + a₁ + (n -1) * d
40 = 2a₁ + (21 - 1)* d
40 = 2a₁ + 20d Simplificas sacas mitad
20 = a₁ + 10d Ecuación (1)
Ahora.
a₁₉ = a₁ + (n - 1) * d
a₁₉ = a₁ + (19 - 1) * d
a₁₉ = a₁ + 18d
a₃ = a₁ + (n - 1) * d
a₃ = a₁ + (3 - 1)* d
a₃ = a₁ + 2d
Pero
a₁₉ = 4(a₃) Reemplazas los valores
a₁ + 18d = 4(a₁ + 2d)
a₁ + 18d = 4a₁ + 8d
0 = 4a₁ +8d - a₁ - 18d
0 = 3a₁ - 10d
3a₁ - 10d = 0 Ecuación (2)
20 = a₁ + 10d
a₁ + 10d = 20 (1)
3a₁ - 10d = 0 (2) Utilizando metodo de eliminación
------------------
4a₁ = 20
a₁ = 20/4
a₁ = 5
El primer termino de la progresión es 5
Respuesta.
a₁ = 5
El primer término es 0 y la diferencia es 2
El primer término es 0, la diferencia es 2Una progresión aritmética es una sucesión en la que si restamos dos términos consecutivos de la misma esta diferencia es constante, es decir cada termino se obtiene sumando el anterior por una constante llamanda diferencia denotada con la letra “d”.
El nesimo termino se obtiene con la ecuación:
an = a1 + d *(n-1)
La suma de los termino una progresión aritmética, hasta el n-esimo termino es:
Sn = n*(a1 + an)/2
En este caso:
S21 = 420 = 21*(a1 + a21)/2
a9 = a1 + d*(9 - 1) = 4*a3 = 4*(a1 + d*(3-1))
a1 + d*8 = 4*(a1 + 2d)
a1 + 8d = 4a1 + 8d
a1 = 4a1
a1 = 0
Luego:
S21 = 420 = 21*(0 + a21)/2
840 = 21*a21
840/21 = a21
a21 = 40 = a1 + d*(21 - 1)
40 = 0 + d*20
d = 40/20
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