Question

Un barco de carga debe llevar las provisiones a 4 islas, cuyos nombres son Ángaro (A), Belinton (B), Cadmir (C) y Drosta (D). El barco inicia su viaje desde el puerto de la isla Ángaro hasta la isla Belinton, a 17,9km de distancia, en una dirección 36,8° al suroeste. Luego navega de la isla Belinton a la isla Cadmir, recorriendo 12,1km en una dirección de 16,9° al noroeste. Por último, se dirige a la isla Drosta, navegando 23,1 km hacia el norte.

a) Exprese los desplazamientos (AB) ⃗ , (BC) ⃗ y (CD) ⃗ , como vectores de posición, es decir, en términos de los vectores unitarios (i ̂ y i ̂)

b) Determine el vector desplazamiento total (AD) ⃗ como vector cartesiano, en términos de los vectores unitarios (i ̂ y i ̂)

c) ¿Para regresar de la isla D a la isla de partida A, qué distancia debe recorrer y en qué dirección geográfica?

d) Represente gráficamente en un plano cartesiano a escala, la situación planteada (Utilice un software graficados como por ejemplo, GEOGEBRA), es decir, los primeros tres desplazamientos y el desplazamiento total

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos.

1) Determinar los vectores posición de cada desplazamiento.

a) Desde la isla A hasta la B con una distancia de 17,9 Km y un ángulo 36,8 º Suroeste.

Vab = 17,9 ∠180 + 36,8 = 17,9 ∠216,8º

Vab = 17,9*Cos(216,8º) i + 17,9*Sen(216,8º) j

Vab = (-14,333 i - 10,723 j) Km

b) Desde la isla B hasta la C con una distancia de 12,1 Km y 16,9º Noroeste.

Vbc = 12,1 ∠180 - 16,9 = 12,1 ∠163,1º

Vbc = 12,1*Cos(163,1º) i + 12,1*Sen(163,1º)

Vbc = (- 11,577 i + 3,517 j) Km

c) Desde la isla C hasta la D con una distancia de 23,1 Km y un ángulo de 0º Norte.

Vcd = 23,1 ∠90º

Vcd = 23,1*Cos(90º) i + 23,1*Sen(90º) j

Vcd = (0 i + 23,1 j) Km = 23,1 j Km

2) Determinar el vector del desplazamiento total Vad.

El vector AD se forma de la siguiente manera:

Vad = Vab + Vbc + Vcd

Vad = (-14,333 i - 10,723 j) + (-11,577 i + 3,517 j) + 23,1 j

Vad = (-14,333 - 11,577) i + (23,1 - 10,723 + 3,517) j

Vad = (-25,91 i + 8,86 j) Km

3) Distancia y ángulo para regresar desde D hasta A.

Para eso hay que invertir Vad para tener Vda.

Vda = - Vad = -(-25,91 i + 8,86 j) 

Vda = (25,91 i - 8,86 j) Km

Ahora hay que aplicar la siguiente ecuación para la distancia a recorrer:

d = √x² + y²

Dónde:

d es la distancia recorrida.

x es la componente en i.

y es la componente en j.

Aplicando la ecuación:

d = √25,91² + (-8,86)² = 27,383 Km

La dirección se calcula con la siguiente ecuación:

α = Arctg (y/x)

Dónde:

α es el ángulo con respecto al eje positivo de las x.

y es la componente j.

x es la componente i.

Aplicando la ecuación:

α = Arctg (-8,86 / 25,91) = -18,878 º

Este ángulo representa una dirección y sentido de 18,878º con dirección Sureste.