Question

la suma de los n primeros números naturales es 861. -Calcula el valor de n

Answer 1

Progresión aritmética (PA).

Cada término se calcula a partir de sumar una cantidad fija al anterior y esa cantidad es la diferencia "d"

En este caso,
d = 1
a₁ = 1  (primer término de la PA)

Se plantea sistema 2 ecuaciones con 2 incógnitas donde una incógnita es  $a_n$ y la otra es  "n".

Se usa la fórmula del término general para construir la primera ecuación y la fórmula de suma de términos para construir la segunda.

Término general de una PA: 
$a_n=a_1+(n-1)*d \ ...\ sustituyendo... \\ a_n=1+(n-1)*1 \\ a_n=n$

Suma de términos:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} \ \ sustituyendo\ y\ resolviendo... \\ \\ 861=\frac{(1+a_n)*n}{2} \\ \\ 1722=(1+a_n)*n \ ...\ sustituyendo \ "a_n" \\ \\ 1722=(1+n)*n \\ \\ n^2+n-1722=0 \ por\ formula\ general\ ec.\ cuadraticas... \\ \\ n_1,\ n_2= \frac{-b\pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a} \\ \\ \left \{ {{n_1= \frac{-1+83}{2}=\ 41 } \atop {n_2= \frac{-1-83}{2}=\ -42 }} \right.$

Me quedo con la solución positiva de 41 términos. Es decir... n = 41
La negativa se desestima porque la progresión es de números naturales y en este conjunto no existen los números negativos.

Saludos.