Question

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y VECTORES
El ángulo formado por los vectores <u> y <v> es el doble del angulo formado por <u> y la proyección de <u> sobre <v> . Si ||u||=||v||=4, el producto escalar u.v  es igual a:
A) -2 B)2 C)4 D)8 E)-8
[Correcta: E ]
En mi caso siempre me sale como resultado (incorrecto) 16, pero ni si quiera aparece entre las opciones.
El problema principal, es que no puedo determinar el ángulo, y tampoco puedo expresar esto gráficamente para tener una idea de lo que hago.
Doy varios puntos al que me ayude en esto, gracias.

Answer 1

Nota esto: La proyección del vector $\vec u$ sobre el vector $\vec v$ es otro vector paralelo al vector $\vec v$.

Ahora tienes dos opciones: que el ángulo entre $\vec u$ y $\vec v$ sea el mismo que el ángulo entre $\vec u$ y $\text{Proy}_{\vec v} \,\vec u$ (lo cual no es posible por el dato del problema) o sean suplementarios (lo que si es posible). Entonces es lógico pensar que el el ángulo entre $\vec u$ y $\vec v$ sea 120° (¿porqué?)

Luego tenemos lo siguiente
 
                                  $\langle \vec u , \vec v\,\rangle = \|\vec u\|\|\vec v\| \cos 120\°\\ \\ \langle \vec u , \vec v\,\rangle = (4\times 4)(-\cos 60\°)\\ \\ \langle \vec u , \vec v\,\rangle = (16)\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ \\ \boxed{ \langle \vec u , \vec v\,\rangle =-8}$